Question

如圖1，點C、B分別為拋物線C₁：y₁=x²+1，拋物線C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂的頂點．分別過點B、C作x軸的平行線，交拋物線C₁、C₂于點A、D，且AB=BD．
（1）求點A的坐標：
（2）如圖2，若將拋物線C₁：“y₁=x²+1”改為拋物線“y₁=2x²+b₁x+c₁”．其他條件不變，求CD的長和a₂的值；
（3）如圖2，若將拋物線C₁：“y₁=x²+1”改為拋物線“y₁=4x²+b₁x+c₁”，其他條件不變，求b₁+b₂的值______（直接寫結果）．

Answer 1

（1）如圖，連接AC、BC，設直線AB交y軸于點E，
∵AB∥x軸，CD∥x軸，C、B為拋物線C₁、C₂的頂點，
∴AC=BC，BC=BD，
∵AB=BD，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACE=30°，
設AE=m，
則CE=

3

AE=

3

m，
∵y₁=x²+1，
∴點C的坐標為（0，1），
∴點A的坐標為（-m，1+

3

m），
∵點A在拋物線C₁上，
∴（-m）²+1=1+

3

m，
整理得m²-

3

m=0，
解得m₁=

3

，m₂=0（舍去），
∴點A的坐標為（-

3

，4）；


（2）如圖2，連接AC、BC，過點C作CE⊥AB于點E，
設拋物線y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x-h₁）²+k₁，
∴點C的坐標為（h₁，k₁），
設AE=m，
∴CE=

3

m，
∴點A的坐標為（h₁-m，k₁+

3

m），
∵點A在拋物線y₁=2（x-h₁）²+k₁上，
∴2（h₁-m-h₁）²+k₁=k₁+

3

m，
整理得，2m²=

3

m，
解得m₁=

3

2

，m₂=0（舍去），
由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
∵AB=2AE=

3

，
∴CD=

3

，
即CD的長為

3

，
根據題意得，CE=

3

2

BC=

3

2

×

3

=

3

2

，
∴點B的坐標為（h₁+

3

2

，k₁+

3

2

），
又∵點B是拋物線C₂的頂點，
∴y₂=a₂（x-h₁-

3

2

）²+k₁+

3

2

，
∵拋物線C₂過點C（h₁，k₁），
∴a₂（h₁-h₁-

3

2

）²+k₁+

3

2

=k₁，
整理得

3

4

a₂=-

3

2

，
解得a₂=-2，
即a₂的值為-2；

（3）根據（2）的結論，a₂=-a₁，

1

2

CD=-

b2

2a2

-（-

b1

2a1

）=

b2

2a1

+

b1

2a1

=

b1+b2

2a1

，
根據（1）（2）的求解，CD=2×

3

a1

，
∴b₁+b₂=2

3

．