Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分別為AC，CD的中點(diǎn)，連接BM，MN，BN．

（1）求證：BM=MN；
（2）∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的長．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：在△CAD中，∵M(jìn)、N分別是AC、CD的中點(diǎn)，

∴MN∥AD，MN= AD，

在RT△ABC中，∵M(jìn)是AC中點(diǎn)，

∴BM= AC，

∵AC=AD，

∴MN=BM

（2）

解：∵∠BAD=60°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC=30°，

由（1）可知，BM= AC=AM=MC，

∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°，

∵M(jìn)N∥AD，

∴∠NMC=∠DAC=30°，

∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，

∴BN2=BM2+MN2，

由（1）可知MN=BM= AC=1，

∴BN=

【解析】（1）根據(jù)三角形中位線定理得MN= AD，根據(jù)直角三角形斜邊中線定理得BM= AC，由此即可證明．（2）首先證明∠BMN=90°，根據(jù)BN2=BM2+MN2即可解決問題．