Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC=60°，將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）將圖1中的三角尺繞點O逆時針旋轉至圖2，使點N在OC的反向延長線上，請直接寫出圖中∠MOB的度數，∠MOB=　　　　　　．

（2）將圖1中的三角尺繞點O逆時針旋轉至圖3，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數．

（3）將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖4，使ON在∠AOC的內部，請探究∠AOM與∠NOC之間的數量關系，并說明理由．

（4）將圖1中的三角尺繞點O以每秒鐘15°的轉速順時針旋轉一周，當時間t為 秒鐘時，ON所在的直線恰好平分∠AOC.(直接寫答案)

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）150°；（3）30°；（4）8或20秒.

【解析】試題分析：（1）根據對頂角求出∠BON，代入∠BOM=∠MON-∠BON求出即可；

（2）求出∠BOC=120°，根據角平分線定義請求出∠COM=∠BOM=60°，代入∠CON=∠MON+∠COM求出即可；

（3）用∠AOM和∠CON表示出∠AON，然后列出方程整理即可得解．

（4））分兩種情況根據旋轉的性質求出旋轉角，然后除以旋轉速度即可得解；

試題解析：（1）如圖2，∵∠AOC=60°，

∴∠BON=∠AOC=60°，

∵∠MON=90°，

∴∠BOM=∠MON-∠BON=30°；

（2）∵∠AOC=60°，

∴∠BOC=180°-∠AOC=120°，

∵OM平分∠BOC，

∴∠COM=∠BOM=60°，

∵∠MON=90°，

∴∠CON=∠MON+∠COM=90°+60°=150°；

（3）∠AOM-∠NOC=30°，

理由是：∵∠MON=90°，∠AOC=60°，

∴∠AON=90°-∠AOM，

∠AON=60°-∠NOC，

∴90°-∠AOM=60°-∠NOC，

∴∠AOM-∠NOC=30°，

故∠AOM與∠NOC之間的數量關系為：∠AOM-∠NOC=30°．

（4）直線ON恰好平分銳角∠AOC時，

旋轉角為90°+30°=120°或270°+30°=300°，

∵每秒順時針旋轉15°，

∴時間為8或20秒.