Question

【題目】古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常用小石子擺成各種形狀來研究數學問題．

如圖1，由于這些三角形是由1個，3個，6個，10個，… 小石子擺成的，所以他們稱1，3，6，10，…，這些數為三邊形數；類似的，如圖2，他們稱1，4，9，16，…，這樣的數為四邊形數．

（1）既是三邊形數，又是四邊形數，且大于1的最小正整數是 ；

（2）如果記第n個k邊形小石子的個數為（k≥3），那么易得，，．

① ； ；

② ； ；

③ 如果，那么 ；

（3）如果進一步研究發現，，…，那么 ．

Answer 1

【答案】（1）36；（2）① 6，81；②，；③ 10；（3）1 000．

【解析】

（1）圖1中1、3、6、10，…，第n個圖中點的個數是1+2+3+…+n，即；圖2中1、4、9、16，…，第n個圖中點的個數是n2，求出能同時滿足兩個式子的數，即可得出結果；

（2）由圖1中1、3、6、10，…，第n個圖中點的個數是1+2+3+…+n，即；圖2中1、4、9、16，…，第n個圖中點的個數是n2，即可得出結果；

（3）由M（n，3），M（n，4），M（n，5），M（n，6），可推斷M（n，k）（k≥3），將M（10，24）代入即可得出結果．

（1）∵四邊形數點的個數是為n2，

∴除1外，分別為4，9，16，25，36，49，64，…．

∵圖1中1、3、6、10，…，第n個圖中點的個數是1+2+3+…+n，即三邊形數點的個數是為，

∵4無正整數解，

∴4不是三邊形數．

∵9無正整數解，

∴9不是三邊形數．

∵16無正整數解，

∴16不是三邊形數．

∵25無正整數解，

∴25不是三邊形數．

∵36，解得：n=8，所以36是三邊形數，

∴除1外，最小的既是三邊形數又是四邊形數的是36．

故答案為：36；

（2）由（1）知：M（n，3），M（n，4）=n2；

故：①M（3，3）==6，M（9，4）=92=81；

②M（n，3），M（n，4）=n2；

③M（n，3）=55，

∴n2+n-110=0，

∴（n-10）（n+11）=0，

解得：n=10或n=-11（舍去），

∴n=10．

（3）∵M（n，3），

M（n，4）=n2，

M（n，5）n2n，

M（n，6）=2n2﹣n，

∴由此變化規律可推斷M（n，k）（k≥3），

∴M（10，24）1000．