Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點，∠ACD=∠B，AD⊥CD．

（1）求證：CD是⊙O的切線；

（2）若AD=1，OA=2，求AC的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2．

【解析】

試題分析：（1）連接OC，由圓周角定理得出∠ACB=90°，由等腰三角形的性質得出∠B=∠BCO，證出∠OCD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即可得出結論；

（2）證明△ACB∽△ADC，得出AC2=ADAB，即可得出結果．

試題解析：（1）證明：連接OC，如圖所示，∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，∵OB=OC，∴∠B=∠BCO，又∵∠ACD=∠B，∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=∠OCA+∠BCO=∠ACB=90°，即OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線；

（2）解：∵AD⊥CD，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠ACD=∠B，∴△ACB∽△ADC，∴AC2=ADAB=1×4=4，∴AC=2．