Question

【題目】“三等分角”是數學史上一個著名的問題，但僅用尺規不可能“三等分角”．下面是數學家帕普斯借助函數給出的一種“三等分銳角”的方法（如圖）：將給定的銳角∠AOB置于直角坐標系中，邊OB在x軸上、邊OA與函數的圖象交于點P，以P為圓心、以2OP為半徑作弧交圖象于點R．分別過點P和R作x軸和y軸的平行線，兩直線相交于點M，連接OM得到∠MOB，則∠MOB=∠AOB．要明白帕普斯的方法，請研究以下問題：

（1）設P（，）、R（，），求直線OM對應的函數表達式（用含，的代數式表示）；

（2）分別過點P和R作y軸和x軸的平行線，兩直線相交于點Q．請說明Q點在直線OM上，并據此證明∠MOB=∠AOB；

（3）應用上述方法得到的結論，你如何三等分一個鈍角（用文字簡要說明）

Answer 1

【答案】（1）. y=x；（2）.證明見解析；（3）.見解析.

【解析】

（1）根據點P、點R的坐標得出點M的坐標，設出直線OM的解析式，將點M的坐標代入直線解析式求出未知參數即可；（2）不難證明四邊形PQRM為矩形，根據矩形的性質可得出∠PSQ=2∠PMS，PR=2PS，由已知條件PR=2PO可得PS=PO，即∠PSO=∠POS，所以∠POS=2∠PMS，由PM∥x軸可得∠PMS=∠MOB，所以∠POS=2∠MOB，即可證明∠MOB=∠AOB；（3）方法一：利用鈍角的一半是銳角，將利用上述結論將銳角三等分即可；方法二：鈍角減去一個直角得一個銳角，利用上述結論將銳角三等分后，再將直角三等分即可.

（1）設直線OM的解析式為y=kx，

∵P（a，），R（b，），

∴M（b，），

∴k=，

∴y=x；

（2）證明：由題意得Q（a，），

當x=a時，y=，

∴點Q在直線OM上，

由題意可得∠PMB=∠MRQ=∠RQP=90°，

∴四邊形PQRM是矩形，

∴PR=2PS，SP=SM，

∴∠SPM=∠SMP，

∴∠PSO=2∠SMP，

∵PM∥x軸，

∴∠SMP=∠MOB，

∴∠PSO=2∠MOB，

∵PR=2PO，

∴PS=PO，

∴∠PSO=∠POS，

∴∠POS=2∠MOB，

∴∠MOB=∠AOB；

（3）方法一：利用鈍角的一半是銳角，將利用上述結論將銳角三等分即可；

方法二：鈍角減去一個直角得一個銳角，利用上述結論將銳角三等分后，再將直角三等分即可.