Question

【題目】如圖1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，把它放在x軸的正半軸上，AD與x軸重合且點A坐標為(3，0)．

（1）若以點A為旋轉中心，將矩形ABCD逆時針旋轉，使點B落到y軸上的點B1處，得到矩形AB1C1D1，如圖2，求點B1，C1，D1的坐標．

（2）若將矩形ABCD向左平移一段距離后得到矩形A2B2C2D2，如圖3，再將它以A2為旋轉中心逆時針旋轉，使點B2落到y軸上的點B3處．此時點C3恰好落在點A2的正上方得到矩形A2B3C3D3，求平移的距離并寫出C3的坐標．

Answer 1

【答案】（1）B1(0，4)，，D1(4.6，1.2)；（2）平移的距離：，C3(，)．

【解析】

（1）先求出B1的坐標為(0，4)，過D1作D1E⊥x軸于E，利用Rt△AOB1∽Rt△D1EA求出ED1＝1.2，EA＝1.6，進而得出D1的坐標；過點C1作C1F⊥y軸于F，利用Rt△B1C1F∽Rt△AB1O，得出∠C1B1F＝∠B1AO，利用三角函數求出，的值，進而得出的坐標；

（2）連接B2C3，過點B3作B3G⊥A2C3于G，在Rt△A2B3C3中利用勾股定理求出A2C3的值，利用等面積法求出的值，從而得出C3的坐標．

解：（1）∵A(3，0)，∴OA＝3，

∵AB＝5，∴由旋轉的性質可知AB1＝AB＝5，

在Rt△AOB1中，由勾股定理可得：

OB1＝4，

∴B1的坐標為(0，4)，

如下圖，過D1作D1E⊥x軸于E，

∵四邊形AB1C1D1是矩形，

∴∠B1AD1＝90°，∴∠OAB1＋∠EAD1＝90°，

又∵∠OAB1＋∠OB1A＝90°，

∴∠EAD1＝∠OB1A，

又∵∠AOB1＝∠AED1＝90°，

∴Rt△AOB1∽Rt△D1EA，

∴，

由旋轉性質可知，AD1＝AD＝2，

∴，

∴ED1＝1.2，EA＝1.6，

∴OE＝OA＋AE＝3＋1.6＝4.6，

∴D1(4.6，1.2)，

過點C1作C1F⊥y軸于F，

同理可得，∴Rt△B1C1F∽Rt△AB1O，

∴∠C1B1F＝∠B1AO，

∵

∴，而，

∴，解得，

∴則解得

∴

∴．

（2）連接B2C3，過點B3作B3G⊥A2C3于G，

在Rt△A2B3C3中，A2B3＝AB＝5，B3C3＝BC＝2，

∴A2C3＝，

又∵，

∴，

即∴，

∴

因此向左平移的距離為：，

∵OA2＝，A2C3＝

∴點C3的坐標為(，)．