Question

14．已知：如圖，△ABC是邊長(zhǎng)為4cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC方向勻速移動(dòng)，它們的速度都是1cm/s，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t（s），解答下列各問(wèn)題：
（1）求△ABC的面積；
（2）當(dāng)t為何值是，△PBQ是直角三角形？
（3）探究：是否存在某一時(shí)刻t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五？如果存在，求出t的值；不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，利用三角形的面積公式進(jìn)行解答即可；
（2）分兩種情況進(jìn)行討論：①∠BPQ=90°；②∠BQP=90°，然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP，BQ的長(zhǎng)和∠B的度數(shù)進(jìn)行求解即可；
（3）先作QD⊥AB于D，根據(jù)∠BQD=30°，得到QD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，然后根據(jù)四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五，可得出一個(gè)關(guān)于t的方程，如果方程無(wú)解，則說(shuō)明不存在這樣的t值，如果方程有解，那么求出的t值即可．

解答 解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，則∠BAC=30°，
∵AC=4，
∴CD=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積=$\frac{1}{2}$×BC×AD=$\frac{1}{2}$×4×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$；

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)t秒，△PBQ是直角三角形，則AP=tcm，BQ=tcm，
△ABC中，AB=BC=4cm，∠B=60°，
∴BP=（4-t）cm，
若△PBQ是直角三角形，則分兩種情況：
①當(dāng)∠BQP=90°時(shí)，BQ=$\frac{1}{2}$BP，
即t=$\frac{1}{2}$（4-t），
解得t=$\frac{4}{3}$（秒），
②當(dāng)∠BPQ=90°時(shí)，BP=$\frac{1}{2}$BQ，
4-t=$\frac{1}{2}$t，
解得t=$\frac{8}{3}$（秒），
綜上所述，當(dāng)t=$\frac{4}{3}$秒或$\frac{8}{3}$秒時(shí)，△PBQ是直角三角形；

（3）不存在這樣的t．
理由：如圖，作QD⊥AB于D，則∠BQD=30°，
∴QD=$\sqrt{3}$BD=$\sqrt{3}$×$\frac{1}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴△BQP的面積=$\frac{1}{2}$×BP×QD
=$\frac{1}{2}$×（4-t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t
=$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²，
當(dāng)四邊形APQC的面積是△ABC面積的$\frac{5}{8}$時(shí)，△BQP的面積是△ABC面積的$\frac{3}{8}$，
即$\sqrt{3}$t-$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²=$\frac{3}{8}$×4$\sqrt{3}$，
化簡(jiǎn)得：t²-4t+6=0，
∵△=b²-4ac=16-4×1×6=-8＜0，
∴不存在這樣的t，使四邊形APQC的面積是△ABC面積的八分之五．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于三角形綜合題，主要考查的是等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的判定及三角形的面積公式的運(yùn)用，根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造直角三角形，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解是解答此題的關(guān)鍵．