Question

我們給出如下定義：如果一個直角三角形的斜邊與另一個直角三角形的一邊重合，且兩個三角形不重疊，我們稱這兩個直角三角形是一對“伴侶三角形”，由這兩個直角三角形拼成的四邊形我們稱為“美的四邊形”．并且稱這兩個三角形重合的邊為“美的四邊形”的寬，另一條對角線叫“美的四邊形”的長．解答下列問題：
（1）判斷圖1是不是“美的四邊形”？
（2）如圖2，在8×8的正方形網格中，給定一個Rt△ABC，請你補上一個格點D，使以A、B、C、D為頂點的四邊形是一個“美的四邊形”（畫出一個即可），并回答這樣的點D共有幾個？
（3）如圖3，根據圖中已知條件求“美的四邊形”的長．（如有需要可使用56²+48²=5440）

Answer 1

分析：（1）根據題中的信息，驗證是否符合即可，很明顯圖1不是．
（2）根據題中所給的定義，只要找到一個直角三角形，其中一邊與AB重合即可，畫出圖形，知道可以畫6個．
（3）根據定義即求BD的長度．

解答：解：（1）兩個直角邊重合，不符合題中的信息．
所以圖1不是“美的四邊形”．

（2）符合要求的點有7個．

（3）如圖3，作出輔助線CE⊥AD于E，交DA的延長線于E，
由∠BAD=90°得sin∠CAE=cos∠BAC=

4

5

，
∴CE=AC×sin∠CAE=4×

4

5

=

16

5

，
∴AE=AC×cos∠CAE=4×

3

5

=

12

5

，
∴DE=AE+AD=12+

12

5

=

72

5

，
∴CD=

DE2+CE2

=

8

5

85

故線段CD=

8

5

85

．

點評：本題是給出定義，根據定義求解的題，看似與課本知識無關，其實只不過是“換了件外衣”，同樣要求有扎實的基礎，在此基礎上還考查理解分析能力．