Question

【題目】已知，在△ABC中，∠ACB＝30°

（1）如圖1，當AB＝AC＝2，求BC的值；

（2）如圖2，當AB＝AC，點P是△ABC內一點，且PA＝2，PB＝，PC＝3，求∠APC的度數；

（3）如圖3，當AC＝4，AB＝（CB＞CA），點P是△ABC內一動點，則PA+PB+PC的最小值為　 　．

Answer 1

【答案】（1）BC＝2；（2）∠APC＝120°；（3）．

【解析】

作AP⊥BC于P，因為AC＝2，∠C＝30°，利用求得PC，再利用垂徑定理得BP=PC，即可求解.

因為AB＝AC，∠C＝30°，所以∠BAC＝120°，將△APB繞點A逆時針旋轉120°得到△QAC，所以，因為∠PAQ＝120°，所以PQ＝2 ，PQ2+PC2＝QC2，∠QPC＝90°，APQ＝30°，∠APC＝∠APQ +∠QPC代入即可求解.

將△BCP繞點C逆時針旋轉60°得到△CB′P′，連接PP′，AB′，則∠ACB′＝90°，因為PA+PB+PC＝PA+PP′+P′B′，所以當A，P，P′，B′共線時，PA+PB+PC的值最小，最小值＝AB′的長，再根據勾股定理即可求解.

解：（1）如圖1中，作AP⊥BC于P．

∵AB＝AC，AP⊥BC，

∴BP＝PC，

在Rt△ACP中，∵AC＝2，∠C＝30°，

∴PC＝ACcos30°＝，

∴BC＝2PC＝2．

（2）如圖2中，

∵AB＝AC，∠C＝30°，

∴∠BAC＝120°，

將△APB繞點A逆時針旋轉120°得到△QAC．

∴PA＝AQ＝2，PB＝QC＝，

∵∠PAQ＝120°，

∴PQ＝2，

∴PQ2+PC2＝QC2，

∴∠QPC＝90°，

∵∠APQ＝30°，

∴∠APC＝30°+90°＝120°．

（3）如圖3中，將△BCP繞點C逆時針旋轉60°得到△CB′P′，連接PP′，AB′，則∠ACB′＝90°．

∵PA+PB+PC＝PA+PP′+P′B′，

∴當A，P，P′，B′共線時，PA+PB+PC的值最小最小值＝AB′的長，

p>由AB＝，AC＝4，∠C＝30°，可得BC＝CB′＝3，

∴AB′＝＝．

故答案為．