Question

如圖，平面直角坐標系中有一矩形紙片OABC，O為原點，點A，C分別在x軸，y軸上，點B坐標為（m，

2

）（其中m＞0），在BC邊上選取適當的點E和點F，將△OCE沿OE翻折，得到△OGE；再將△ABF沿AF翻折，恰好使點B與點G重合，得到△AGF，且∠OGA=90度．
（1）求m的值；
（2）求過點O，G，A的拋物線的解析式和對稱軸；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得△OPG是等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，直接答出所有滿足條件的點P的坐標（不要求寫出求解過程）．

Answer 1

（1）解法一：∵B（m，

2

），
由題意可知AG=AB=

2

，OG=OC=

2

，OA=m（2分）
∵∠OGA=90°，
∴OG²+AG²=OA²
∴2+2=m²．
又∵m＞0，
∴m=2．
解法二：∵B（m，

2

），
由題意可知AG=AB=

2

，OG=OC=

2

，OA=m
∵∠OGA=90°，
∴∠GOA=∠GAO=45°
∴m=OA=

OG

cos∠GOA

=

2

cos45°

=2．

（2）解法一：過G作直線GH⊥x軸于H，
則OH=1，HG=1，故G（1，1）．
又由（1）知A（2，0），
設過O，G，A三點的拋物線解析式為y=ax²+bx+c
∵拋物線過原點，
∴c=0．
又∵拋物線過G，A兩點，
∴

a+b=1 4a+2b=0

，
解得

a=-1 b=2

，
∴所求拋物線為y=-x²+2x，
它的對稱軸為x=1．
解法二：過G作直線GH⊥x軸于H，
則OH=1，HG=1，故G（1，1）．
又由（1）知A（2，0），
∴點A，O關于直線l對稱，
∴點G為拋物線的頂點．
于是可設過O，G，A三點的拋物線解析式為y=a（x-1）²+1，
∵拋物線過點O（0，0），
∴0=a（0-1）²+1，
解得a=-1，
∴所求拋物線為y=（-1）（x-1）²+1=-x²+2x
它的對稱軸為x=1．

（3）答：存在
滿足條件的點P有（1，0），（1，-1），（1，1-

2

），（1，1+

2

）．