Question

【題目】學完第2章“特殊的三角形”后，老師布置了一道思考題：
如圖，點M、N分別在正三角形ABC的BC，CA邊上，且BM=CN，AM，BN交于點Q．

（1）判斷△ABM與△BCN是否全等，并說明理由．
（2）判斷∠BQM是否會等于60°，并說明理由．
（3）若將題中的點M，N分別移動到BC，CA的延長線上，且BM=CN，是否能得到∠BQM=60°？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：全等，理由：

∵AB=BC，∠ABM=∠BCN=60°，BM=CN，

∴△ABM≌△BCN（SAS）；

（2）解：∵△ABM≌△BCN，

∴∠CBN=∠BAM，

∴∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°；

（3）解：能得到∠BQM=60°．理由如下：

同（1）可證△ABM≌△BCN（SAS），

∴∠M=∠N，

∵∠QAN=∠CAM，∠BQM=∠N+∠QAN，∠ACB=∠M+∠CAM，

∴∠BQM=∠ACB=60°．

【解析】（1）因為AB=BC，∠ABM=∠BCN=60°，BM=CN，利用SAS可以證明；（2）根據兩個三角形全等，對應角相等可得∠CBN=∠BAM，則∠BQM=∠BAM+∠ABQ=∠CBN+∠ABQ=∠ABC=60°；（3）和（1）同樣的求法可得△ABM≌△BCN，然后利用三角形外角的性質求∠BQM=60°．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識，掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°．