Question

【題目】（1）探究新知：

①如圖，已知AD∥BC，AD＝BC，點M，N是直線CD上任意兩點．試判斷△ABM與△ABN的面積是否相等.

②如圖，已知AD∥BE，AD＝BE，AB∥CD∥EF，點M是直線CD上任一點，點G是直線EF上任一點．試判斷△ABM與△ABG的面積是否相等，并說明理由．

（2）結論應用：

如圖③，拋物線的頂點為C（1，4），交x軸于點A（3，0），交y軸于點D.試探究在拋物線上是否存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等？若存在，請求出此時點E的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）①證明見解析.②相等；理由見解析.（2）存在.

【解析】

試題（1）①由于CD∥AB，所以△ABM和△ABN中，AB邊上的高相等，則兩個三角形是同底等高的三角形，所以它們的面積相等；

②分別過D、E作AB的垂線，設垂足為H、K；通過證△DAH≌△EBK，來得到DH=KE；則所求的兩個三角形是同底等高的三角形，由此得證；

（2）根據A、C的坐標，即可求得拋物線的解析式，進而可求出A、D的解析式；用待定系數法可確定直線AD的解析式；假設存在符合條件的E點，過C作CD⊥x軸于D，交直線AD于H；過E作EF⊥x軸于F，交直線AD于P；根據拋物線的對稱軸方程及直線AD的解析式，易求得H點的坐標，即可得到CH的長；設出E點橫坐標，根據直線AD和拋物線的解析式，可表示出P、E的縱坐標，即可得到PE的長；根據（1）題得到的結論，當PE=CH時，所求的兩個三角形面積相等，由此可列出關于E點橫坐標的方程，從而求出E點的坐標．（需注意的是E點可能在直線AD的上方或下方，這兩種情況下PE的表達式會有所不同，要分類討論）

試題解析：證明：（1）①分別過點M，N作ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分別為點E，F

∵AD∥BC，AD=BC，

∴四邊形ABCD為平行四邊形；

∴AB∥CD；

∴ME=NF；

∵S△ABM=，S△ABN=，

∴S△ABM=S△ABN

②解：相等；理由如下：分別過點D，E作DH⊥AB，EK⊥AB，垂足分別為H，K；

則∠DHA=∠EKB=90°；

∵AD∥BE，

∴∠DAH=∠EBK；

∵AD=BE，

∴△DAH≌△EBK；

∴DH=EK；（2分）

∵CD∥AB∥EF，

∴S△ABM=，S△ABG=，

∴S△ABM=S△ABG；

解：（2）存在．

因為拋物線的頂點坐標是C（1，4），

所以，可設拋物線的表達式為y=a（x-1）2+4；

又因為拋物線經過點A（3，0），

所以將其坐標代入上式，得0=a（3-1）2+4，解得a=-1；

∴該拋物線的表達式為y=-（x-1）2+4，

即y=-x2+2x+3；

∴D點坐標為（0，3）；

設直線AD的表達式為y=kx+3，

代入點A的坐標，得0=3k+3，解得k=-1；

∴直線AD的表達式為y=-x+3；

過C點作CG⊥x軸，垂足為G，交AD于點H；則H點的縱坐標為-1+3=2；

∴CH=CG-HG=4-2=2；

設點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為-m2+2m+3；

過E點作EF⊥x軸，垂足為F，交AD于點P，則點P的縱坐標為3-m，EF∥CG；

由﹙1﹚可知：若EP=CH，則△ADE與△ADC的面積相等；

①若E點在直線AD的上方，

則PF=3-m，EF=-m2+2m+3，

∴EP=EF-PF=-m2+2m+3-（3-m）=-m2+3m；

∴-m2+3m=2，

解得m1=2，m2=1；

當m=2時，PF=3-2=1，EF=1+2=3；

∴E點坐標為（2，3）；

同理當m=1時，E點坐標為（1，4），與C點重合；

②若E點在直線AD的下方，

則PE=（3-m）-（-m2+2m+3）=m2-3m；

∴m2-3m=2，

解得，；

當時，E點的縱坐標為；

當時，E點的縱坐標為；

∴在拋物線上存在除點C以外的點E，使得△ADE與△ACD的面積相等，E點的坐標為E1（2，3）；E2（，）；E3（，）．