Question

【題目】如圖（1），中，，，，的平分線交于，過點作與垂直的直線．動點從點出發沿折線以每秒1個單位長度的速度向終點運動，運動時間為秒，同時動點從點出發沿折線以相同的速度運動，當點到達點時、同時停止運動．

（1）請寫出的長為_______，的長為_______；

（2）當在上在上運動時，如圖（2），設與交于點，當為何值時，為等腰三角形？求出所有滿足條件的值．

Answer 1

【答案】（1）OC＝2，BC＝2；（2）t= 或

【解析】

（1）求出∠B，根據直角三角形性質求出OA，求出AB，在△AOC中，根據勾股定理得出關于OC的方程，求出OC，即可得出答案；

（2）有三種情況：①OM＝PM時，求出OP＝2OQ，代入求出即可；②PM＝OP時，此時不存在等腰三角形；③OM＝OP時，過P作PG⊥ON于G，求出OG和QG的值，代入OG＋QG＝t2，即可求出答案．

（1）解：∵∠A＝90°，∠AOB＝60°，OB＝2，的平分線交于，
∴∠B＝30°，
∴OA＝

由勾股定理得：AB＝3，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°＝∠B，
∴OC＝BC，
在△AOC中，AO2＋AC2＝CO2，
∴()2＋（3OC）2＝OC2，
∴OC＝2＝BC，
答：OC＝2，BC＝2．
（2）解：如圖，∵ON⊥OB，

∴∠NOB＝90°，
∵∠B＝30°，∠A＝90°，
∴∠AOB＝60°，
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC＝∠BOC＝30°，
∴∠NOC＝90°30°＝60°，
①OM＝PM時，
∠MOP＝∠MPO＝30°，
∴∠PQO＝180°∠QOP∠MPO＝90°，
∴OP＝2OQ，
∴2（t2）＝4t，
解得：t＝

②PM＝OP時，
此時∠PMO＝∠MOP＝30°，
∴∠MPO＝120°，
∵∠QOP＝60°，
∴此時不存在；
③OM＝OP時，
過P作PG⊥ON于G，
OP＝4t，∠QOP＝60°，
∴∠OPG＝30°，
∴GO＝（4t），PG＝（4t），
∵∠AOC＝30°，OM＝OP，
∴∠OPM＝∠OMP＝75°，
∴∠PQO＝180°∠QOP∠QPO＝45°，
∴PG＝QG＝（4t），

∵OG＋QG＝OQ，
∴（4t）+（4t）＝t2，
解得：t＝

綜合上述：當t為 或時△OPM是等腰三角形．