Question

【題目】如圖1，點O是彈力墻MN上一點，魔法棒從OM的位置開始繞點O向ON的位置順時針旋轉，當轉到ON位置時，則從ON位置彈回，繼續向OM位置旋轉；當轉到OM位置時，再從OM的位置彈回，繼續轉向ON位置，…，如此反復．按照這種方式將魔法棒進行如下步驟的旋轉：第1步，從OA0（OA0在OM上）開始旋轉α至OA1；第2步，從OA1開始繼續旋轉2α至OA2；第3步，從OA2開始繼續旋轉3α至OA3 ， …．

例如：當α=30°時，OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4的位置如圖2所示，其中OA3恰好落在ON上，∠A3OA4=120°；
當α=20°時，OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4 ， OA3的位置如圖3所示，
其中第4步旋轉到ON后彈回，即∠A3ON+∠NOA4=80°，而OA3恰好與OA2重合．


（1）若α=35°，在圖4中借助量角器畫出OA2 ， OA3 ， 其中∠A3OA2的度數是 ；
（2）若α＜30°，且OA4所在的射線平分∠A2OA3 ， 在如圖5中畫出OA1 ， OA2 ， OA3 ， OA4并求出α的值
（3）若α＜36°，且∠A2OA4=20°，則對應的α值是
（4）當OAi所在的射線是∠AiOAk（i，j，k是正整數，且OAj與OAk不重合）的平分線時，旋轉停止，請探究：試問對于任意角α（α的度數為正整數，且α=180°），旋轉是否可以停止？寫出你的探究思路．

Answer 1

【答案】
（1）
（2）

解：如圖所示

∵α＜30°，

∴∠A0OA3＜180°，4α＜180°．

∵OA4平分∠A2OA3，

∴2（180°﹣6α）+=4α，解得：．

（3）
（4）

解：對于角α=120°不能停止．理由如下：

無論a為多少度，旋轉過若干次后，一定會出現OAi是∠AiOAK是的角平分線，所以旋轉會停止．

但特殊的，當a為120°時，第一次旋轉120°，∠MOA1=120°，第二次旋轉240°時，與OM重合，第三次旋轉360°，又與OM重合，第四次旋轉480°時，又與OA1重合，…依此類推，旋轉的終邊只會出現“與OM重合”或“與OA1重合”兩種情況，不會出第三條射線，所以不會出現OAi是∠AiOAK是的角平分線這種情況，旋轉不會停止．

【解析】（1）根據題意，明確每次旋轉的角度，計算即可；
（2）根據各角的度數，找出等量關系式，列出方程，求出α的度數即可；
（3）類比第（2）小題的算法，分三種情況討論，求出α的度數即可；
（4）無論a為多少度，旋轉很多次，總會出一次OAi是∠AiOAK是的角平分線，但當a=120度時，只有兩條射線，不會出現OAi是∠AiOAK是的角平分線，所以旋轉會中止．