Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，正方形ABCO的頂點C、A分別在x、y軸上，A（0，6）、E（0，2），點H、F分別在邊AB、OC上，以H、E、F為頂點作菱形EFGH

（1）當H（﹣2，6）時，求證：四邊形EFGH為正方形
（2）若F（﹣5，0），求點G的坐標
（3）如圖2，點Q為對角線BO上一動點，D為邊OA上一點，DQ⊥CQ，點Q從點B出發，沿BO方向移動．若移動的路徑長為3，直接寫出CD的中點M移動的路徑長為 ．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：如圖1中，

∵E（0，2），H（﹣2，6），

∴OE=AH=2，

∵四邊形ABCO是正方形，

∴∠HAE=∠EOF=90°，

∵四邊形EFGH是菱形，

∴EH=EF，

在Rt△AHE和Rt△OEF中，

，

∴Rt△AHE≌△Rt△OEF，

∴∠AEH=∠EFO，

∵∠EFO+∠FEO=90°，

∴∠AEH+∠FEO=90°，

∴∠HEF=90°，

∴四邊形EFGH是正方形

（2）

解：如圖1中，連接GE、FH交于點K．

∵F（﹣5，0），E（0，2），

∴OF=5，OE=2，EA=4，

∵HE=EF，

∴52+22=42+AH2，

∴AH= ，

∴H（﹣ ，6），

∵四邊形EFGH是菱形，

∴HK=KF，KE=KG，設G（m，n），則有 = ， = ，

∴m=﹣5﹣ ，n=4，

∴G（﹣5﹣ ，4）

（3）
【解析】（3）解：如圖2中，

如圖2中，作MN⊥CO于M．
∵MN∥OD，CM=MD，
∴CN=ON，
∴MN垂直平分線段CO，
∴點M在線段OC的垂直平分線上運動，
如圖3中，易知當點Q與B重合時，點M與BD的中點N重合，

當BQ=3時，作EQ⊥BC于E，延長EQ交OA于F，延長OM交BC于H，連接NM（線段MN的長即為點M的運動軌跡的長），
∵QC=QD，∠CEQ=∠QFD，易證∠ECQ=∠FQD，
∴△EQC≌△FDQ，
∴EQ=DF=BE= ，CE=OF=6﹣ ，
∴DO=6﹣3 ，
∵CM=DM，∠CMH=∠OMD，∠CHM=∠DOM，
∴△HMC≌△OMD，
∴OM=HM，CH=OD=6﹣3 ，BH=3 ，
∵ON=NB，
∴MN= BH= ，
∴點M的運動的路徑的長為 ．
所以答案是 ．
【考點精析】本題主要考查了菱形的性質和正方形的性質的相關知識點，需要掌握菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半；正方形四個角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．