Question

【題目】等腰直角和等腰直角分別在直線上．

(1)如圖所示，分別在線段上，若，求證：．

(2)若分別在線段外(還在直線上)，根據題意，畫出圖形，那么(1)的結論是否依然成立，若成立，寫出證明過程；若不成立，說明原因；

(3)如圖，若，求證：．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）成立，詳見解析；（3）詳見解析

【解析】

（1）延長，交的延長線于，連接，先證出△BHC為等腰直角三角形，然后證出BC是的垂直平分線，根據垂直平分線的性質可得，然后根據等邊對等角和等角對等邊證出HM=MN，即可證出結論；

（2）根據題意，分點M在CB的延長線和點M在BC的延長線兩種情況討論，分別畫出對應的圖形，根據垂直平分線的性質、等邊對等角和等角對等邊分別證明即可；

（3）延長，交的延長線于，連接，由(1)可得是的垂直平分線，然后根據等邊對等角和等量代換即可證出，從而證出結論．

解：(1)延長，交的延長線于，連接．

，

，

又，

，

∵等腰直角和等腰直角

，

，

為等腰直角三角形，

，

又，

，

是的垂直平分線，

，

，

，

而，

，

(2)成立，證明如下

第一種情況：如圖所示

延長，交的延長線于，連接；

由(1)可得：，，

，

顯然是的垂直平分線，

，且；

，

，

第二種情況：

易證顯然是的垂直平分線，

，

即，

而，∠7=∠8，

，

，

，

(3)延長，交的延長線于，連接．

由(1)可得是的垂直平分線，

，

∴

而，

，

又，

而，

，

，

．