Question

【題目】如圖，已知線段AC為⊙O的直徑，PA為⊙O的切線，切點為A，B為⊙O上一點，且BC∥PO．

（1）求證：PB為⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為1，PA=3，求BC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OB，

∵∠BCA= ，

又∵BC∥OP，

∴∠POA=∠BCA，

∴∠POA=∠BOP，

在△AOP與△BOP中， ，

∴△AOP≌△BOP，

∴∠PBO=∠PAO，

又∵PA為⊙O的切線，

∴∠PAO=90°，

∴∠OBP=90°，

又OB為⊙O的半徑，

∴PB為⊙O的切線；

（2）解：過O作OH⊥BC于H，則CH= BC，

在Rt△AOP中，OP2=PA2+OA2=32+12=10，

又∵OP＞0，

∴OP= ，

∵∠POA=∠BCA，

∴cos∠BCA=cos∠POA= ，

在Rt△OHC中，OC=1，cos∠BCA= 即 ，

∴CH= ，

∴BC=2CH= ．

【解析】（1）要證PB為⊙O的切線，需要證明PB垂直于過B點的半徑，為此連接OB，先證△AOP≌△BOP可得∠PBO=∠PAO，由題意可得∠PAO=90°，即可得證；
（2）連接AB，在Rt△AOP中由勾股定理可求得OP，易求得cos∠POA，又∠POA=∠BCA，可得cos∠BCA，在Rt△OHC中利用三角函數可求出CH，由BC=2CH可得.