Question

【題目】如圖，直線y=kx+6與x、y軸分別交于E、F．點E坐標為（﹣8，0），點A的坐標為（﹣6，0），P（x，y）是直線y=kx+6上的一個動點．

（1）求k的值；

（2）若點P是第二象限內的直線上的一個動點，當點P運動過程中，試寫出三角形OPA的面積S與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）探究：當P運動到什么位置時，三角形OPA的面積為，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）k的值為；

（2）三角形OPA的面積S與x的函數關系式為S=x+18（﹣8＜x＜0）；

（3）當點P的坐標為P（﹣5，）或P（﹣11，﹣）時，三角形OPA的面積為．

【解析】試題分析: （1）將點E的坐標（-8，0）代入直線y=kx+6，得到關于k的方程，解方程即可求出k的值；

（2）由點A的坐標為（-6，0）得到OA=6，求△OPA的面積時，可看作以OA為底邊，高是P點的縱坐標的絕對值．再根據三角形的面積公式表示出△OPA的面積，從而求出其關系式；根據P點運動的范圍可求出自變量x的取值范圍；

（3）根據三角形的面積公式，由△OPA的面積為，列出關于點P的縱坐標y的方程，解方程求出y的值，再代入直線的解析式求出x的值，即可得到P點的坐標．

試題解析:

（1）∵點E（﹣8，0）在直線y=kx+6上，

∴0=﹣8k+6，∴k=；

（2）∵k=，∴直線的解析式為：y=x+6，

∵點P（x，y）是第二象限內的直線y=x+6上的一個動點，

∴y=x+6＞0，﹣8＜x＜0．

∵點A的坐標為（﹣6，0），

∴OA=6，

∴S=OA|yP|=×6×（x+6）=x+18．

∴三角形OPA的面積S與x的函數關系式為：S=x+18（﹣8＜x＜0）；

（3）∵三角形OPA的面積=OA|yP|=，P（x，y），

∴×6×|y|=，

解得|y|=，

∴y=±．

當y=時，=x+6，

解得x=﹣5，故P（﹣5，）；

當y=﹣時，﹣=x+6，

解得x=﹣11，故P（﹣11，﹣）；

綜上可知，當點P的坐標為P（﹣5，）或P（﹣11，﹣）時，三角形OPA的面積為 ．

點睛:此題屬于一次函數綜合題,涉及 的知識有:待定系數法求一次函數解析式,三角形面積,坐標與圖形性質,熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵.