Question

【題目】如圖，等邊△ABC中，AB=3，點O在AB的延長線上，OA=6，且∠AOE=30°，動點P從點O出發，以每秒個單位的速度沿射線OE方向運動，以P為圓心，OP為半徑作⊙P，同時點Q從點B出發，以每秒1個單位的速度沿折線B…C…A向點A運動，Q與A重合時，P、Q同時停止運動，設P的運動時間為t秒．

（1）當△POB是直角三角形時，求t的值；

（2）當⊙P過點C時，求⊙P與線段OA圍成的封閉圖形的面積；

（3）當⊙P與△ABC的邊所在直線相切時，求t的值；

（4）當線段OQ與⊙P只有一個公共點時，直接寫出t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）t=或t=2時△POB是直角三角形；（2）或；（3）當t=1或t=時⊙P與△ABC的邊所在直線相切；（4）＜t≤6時，線段OQ與⊙P只有一個公共點．

【解析】

（1）首先證明O、C、E共線，分兩種情形分別討論求解即可解決問題；

（2）分兩種情形求解即可．

（3））⊙P不可能與AB所在直線相切當⊙P與AC所在直線相切時，如圖4中，求出OP的長即可解決問題，當⊙P與BC的邊所在直線相切時，如圖5中，求出OP即可；

（4）如圖6中，當⊙P經過點Q時，求出t的值，即可解決問題；

（1）如圖1中，連接OC．

∵∠ABC=60°，OB=BC

∴∠AOC=∠BCO=30°，

∴OE經過點C，∠ACO=90°

如圖當∠BPO=90°時，OP=OBcos30=，

∴t=．

如圖2中，當∠PBO=90°時，

OP==2，

∴t=2，

∴當t=或t=2時△POB是直角三角形．

（2）如圖3中，當點P運動到OC中點時⊙P過點C，設⊙P交OA于點F，作PH⊥OA于H．

∵PO=PF

∴∠O=∠PFO=30°，

∴∠OPF=120°

又∵PO═，

∴PH=OP=，

∴S弓形OmF=S扇形POF﹣S△OPF=π﹣或S弓形OnF=π+．

（3）⊙P不可能與AB所在直線相切

當⊙P與AC所在直線相切時，如圖4中，

∵∠ACO=90°

∴當點P運動到OC中點時⊙P與AC邊所在直線相切，此時t=

當⊙P與BC的邊所在直線相切時，如圖5中，此時PB=OP=，t=1，

∴當t=1或t=時⊙P與△ABC的邊所在直線相切．

（4）如圖6中，當⊙P經過點Q時，

∵BC：BQ=CO：OP=，

∴PQ∥OB，

∴，

∴，

解得t=，

觀察圖象可知：當＜t≤6時，線段OQ與⊙P只有一個公共點．