Question

如圖1，已知A（3，0）、B（4，4）、原點O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上．

（1）求拋物線的解析式．
（2）將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個交點D，求m的值及點D的坐標．
（3）如圖2，若點N在拋物線上，且∠NBO=∠ABO，則在（2）的條件下，求出所有滿足△POD∽△NOB的點P的坐標（點P、O、D分別與點N、O、B對應）

Answer 1

（1）y=x²﹣3x （2）m=4 點D的坐標為（2，﹣2） （3）點P的坐標為（）和（）

解析試題分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式進而得出答案即可。
（2）首先求出直線OB的解析式為y=x，進而將二次函數以一次函數聯立求出交點即可。
（3）首先求出直線A′B的解析式，進而由△P₁OD∽△NOB，得出△P₁OD∽△N₁OB₁，進而求出點P₁的坐標，再利用翻折變換的性質得出另一點的坐標。　
解：（1）∵A（3，0）、B（4，4）、O（0，0）在拋物線y=ax²+bx+c （a≠0）上，
∴，解得：。
∴拋物線的解析式為：y=x²﹣3x。
（2）設直線OB的解析式為y=k₁x（ k₁≠0），
由點B（4，4）得4="4" k₁，解得k₁=1。
∴直線OB的解析式為y=x，∠AOB=45°。
∵B（4，4），∴點B向下平移m個單位長度的點B′的坐標為（4，0）。∴m=4。
∴平移m個單位長度的直線為y=x﹣4。
解方程組，解得：。
∴點D的坐標為（2，﹣2）。
（3）∵直線OB的解析式y=x，且A（3，0），
∴點A關于直線OB的對稱點A′的坐標為（0，3）。
設直線A′B的解析式為y=k₂x+3，此直線過點B（4，4）。
∴4k₂+3=4，解得 k₂=。
∴直線A′B的解析式為y=x+3。
∵∠NBO=∠ABO，∴點N在直線A′B上。
設點N（n， n+3），
又點N在拋物線y=x²﹣3x上，
∴n+3=n²﹣3n，解得  n₁=，n₂=4（不合題意，舍去）。
∴點N的坐標為（）。
如圖，將△NOB沿x軸翻折，得到△N₁OB₁，

則 N₁（），B₁（4，﹣4）。
∴O、D、B₁都在直線y=﹣x上。
∵△P₁OD∽△NOB，∴△P₁OD∽△N₁OB₁。∴P₁為O N₁的中點。
∴。∴點P₁的坐標為（）。
將△P₁OD沿直線y=﹣x翻折，可得另一個滿足條件的點到x軸距離等于P₁到y軸距離，點到y軸距離等于P₁到x軸距離，
∴此點坐標為：（）。
綜上所述，點P的坐標為（）和（）。