Question

【題目】如圖，已知二次函數的圖象過點，是中點.

（1）求此二次函數的解析式.

（2）已知，點在拋物線上，點在軸上，當四點構成以為邊的平行四邊形，求此時點的坐標.

（3）將拋物線在軸下方的部分沿軸向上翻折，得曲線（為關于軸的對稱點），在原拋物線軸的上方部分取一點，連接，與翻折后的曲線交于點. 若的面積是面積的3倍，這樣的點是否存在？若存在，求出點的坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）二次函數解析式為：；（2）；（3）存在滿足條件的點，點的坐標為.

【解析】

(1)利用待定系數法,代入A,B兩點坐標，解一個含有a，b的二元一次方程組即可求得：

(2)存在這樣的點有四個，運用平行四邊形相關性質通過平移進行分類求解：

(3)為存在性問題通過的面積是面積的3倍這一關鍵信息進行分析求得.

（1）∵拋物線過原點，∴設其解析式為：

∵拋物線經過點，

∴，解得

∴二次函數解析式為：

（2）點在拋物線上，Q的坐標為,

①當H,Q在直線PA下方時：

，，將P向右平移3個單位，向上平移個單位得到A，同樣有點Q向右平移3個單位，向上平移個單位得到H,此時點在軸上，得到，求得x=3或1，此時H為（4,0）或（6,0）.

②當H,Q在直線PA上方時：同理可得H的坐標為.

綜上H的坐標為 .

（3）依題意，翻折之后的拋物線解析式為：.

假設存在這樣的點，

∵的面積是的面積的3倍，

∴，∴.

如圖所示，分別過點作軸的垂線，

垂足分別為點、點，則有.

∴，∴.

設，

則，

∴.

∵，∴，

整理得：，

解得：，

∴存在滿足條件的點，點的坐標為.