Question

【題目】如圖，四邊形是正方形，是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60度得到BN，連接

（1）求證：

（2）①當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)， 的值最小；

②當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，的值最小，并說(shuō)明理由

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①當(dāng)M點(diǎn)在BD的中點(diǎn)處時(shí)，A，M，C三點(diǎn)共線，最小；②當(dāng)M位于BD與CE交點(diǎn)處時(shí)，的值最小，見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BM=BN，∠MBN=60°，則可判斷△ABE是等邊三角形，得到BA=BE，∠ABE=60°，易得∠ABM=∠EBN，然后根據(jù)“SAS”可判斷△AMB≌△ENB；（2）①連接AC，AC與BD相交于點(diǎn)O，如圖1，根據(jù)正方形的性質(zhì)得點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到AM+CM≥AC（當(dāng)M點(diǎn)在AC上時(shí)取等號(hào)），于是得到當(dāng)M點(diǎn)在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小；②由△BMN為等邊三角形得BM=MN，由△AMB≌△ENB得EN=AM，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，當(dāng)點(diǎn)E、N、M、C共線時(shí)，AM+BM+CM的值最小．

（1）證明：是等邊三角形，

，

，

，

，

在中，

，

；

（2）①如圖，連接AC，AC與BD相交于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，

∵AM+CM≥AC（當(dāng)M點(diǎn)在AC上時(shí)取等號(hào)），

∴當(dāng)M點(diǎn)在BD的中點(diǎn)時(shí)，AM+CM的值最小；

②如圖，連接CE，當(dāng)M位于BD與CE交點(diǎn)處時(shí)，的值最小；

理由如下：連接由MN（1）知，，

，

，

是等邊三角形，

，

，

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短知：若E，N，M，C在同一直線上時(shí)，取得最小值，最小值為，

在中

，

，

，

，

若連接EC，則，

，

可以同時(shí)在直線EC上．

所以當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，的值最小，即等于EC的長(zhǎng)．