Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB=AC，D為線段BC的延長線上一點，且DB=DA，BE⊥AD于點E，取BE的中點F，連接AF．

(1)若AC=，AE=，求BE的長；

(2)在（1）的條件下，如果∠D=45°，求△ABD的面積．

(3)若∠BAC=∠DAF，求證：2AF=AD；

Answer 1

【答案】（1）；（2）9；（3）見詳解

【解析】

（1）在Rt△AEB中，利用勾股定理即可解決問題；

（2）由∠D＝45°可證得BE＝DE，再利用三角的面積公式計算即可；

（3）如圖，延長AF至M點，使AF＝MF，連接BM，首先證明△AEF≌△MFB，再證明△ABM≌△ACD即可．

（1）解：∵AB＝AC，AC＝，

∴AB＝，

∵BE⊥AD，AE＝，

∴在Rt△AEB中，；

（2）解：∵BE⊥AD，∠D＝45°，

∴∠EBD＝∠D ＝45°，

∴BE＝DE＝，

∴AD＝AE+DE＝，

∴；

（3）證明：如圖，延長AF至M點，使AF＝MF，連接BM，

∵點F為BE的中點，

∴EF＝BF，

在△AEF和△MBF中，

∴△AEF≌△MBF（SAS），

∴∠FAE＝∠FMB，

∴AE∥MB，

∴∠EAB+∠ABM＝180°，

∴∠ABM＝180°﹣∠BAD，

又∵AB＝AC，DB＝DA，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAD，

∴∠ACD＝180°﹣∠ACB，

∴∠ABM＝∠ACD．

又∵∠BAC＝∠DAF，

∴∠BAC﹣∠MAC＝∠DAF﹣∠MAC，

∴∠1＝∠2．

在△ABM和△ACD中，

，

∴△ABM≌△ACD（ASA），

∴AM＝AD，

又∵AM＝AF+MF＝2AF，

∴2AF＝AD．