Question

12．已知在同一平面內∠AOB=90°，∠AOC=60°．
（1）畫∠AOC（不寫畫法，保留畫圖痕跡），則∠COB的度數為30°或150°；
（2）畫OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，則∠DOE的度數為45°；
（3）在（2）的條件下，將題目中的∠AOC=60°改成∠AOC=2a（a＜45°）其它條件不變，你能求出∠DOE的度數嗎？若能，請寫出求解過程，若不能，說明理由．

Answer 1

分析 （1）分別以點A、O為圓心，AO長為半徑畫弧，兩弧交于點C，作射線OC即可；
（2）分OC在∠AOB內部和外部兩種情況，由角平分線的定義可得∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC、∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，分別依據∠DOE=∠COD+∠COE、∠DOE=∠COD-∠COE可得答案；
（3）與（2）同理可得．

解答 解：（1）如圖所示，∠AOC或∠AOC′即為所求，

當OC在∠AOB內部時，∠BOC=∠AOB-∠AOC=30°，
當OC在∠AOB外部時，∠BOC=∠AOB+∠AOC=150°，
故答案為：30°或150°；

（2）當OC在∠AOB內部時，如圖2，

∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=45°；
當OC在∠AOB外部時，如圖3，

∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=45°；
故答案為：45°；

（3）如圖2，當OC在∠AOB內部時，
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠COD+∠COE
=$\frac{1}{2}$∠BOC+$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（90°-2α）+$\frac{1}{2}$•2α
=45°；
如圖3，當OC在∠AOB外部時，
∵OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC，
∴∠DOE=∠COD-∠COE
=$\frac{1}{2}$∠BOC-$\frac{1}{2}$∠AOC
=$\frac{1}{2}$（90°+2α）-$\frac{1}{2}$•2α
=45°．

點評 本題主要考查角平分線的定義，熟練掌握角平分線的定義及角的運算是解題的關鍵．