Question

13．如圖，已知∠MON=90°，A是∠MON內部的一點，過點A作AB⊥ON，垂足為點B，AB=3厘米，OB=4厘米，動點E，F同時從O點出發，點E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向運動，點F以2厘米/秒的速度OM方向運動，EF與OA交于點C，連接AE，當點E到達點B時，點F隨之停止運動．設運動時間為t秒（t＞0）
（1）當t=1秒時，△EOF與△ABO是否相似？請說明理由；
（2）在運動過程中，不論t取何值，總有EF⊥OA，為什么？
（3）連接AF，在運動過程中，是否存在某一時刻t，使得S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_{四邊形AEOF}
若存在，請求出此時t的值：若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）只要證明$\frac{OE}{AB}$=$\frac{OF}{OB}$，由∠MON=∠ABE=90°，即可證明△EOF∽△ABO．
（2）由Rt△EOF∽Rt△ABO．推出∠AOB=∠EFO，由∠AOB+∠FOC=90°，推出∠EFO+∠FOC=90°，由此即可證明．
（3）如圖，連接AF，由S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_{四邊形AEOF}，可得方程-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{25}{4}$t=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$t，解方程即可．

解答 解：（1）∵t=1，
∴OE=1.5厘米，OF=2厘米，
∵AB=3厘米，OB=4厘米，
∴$\frac{OE}{AB}$=$\frac{1.5}{3}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{OF}{BO}$=$\frac{2}{4}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OE}{AB}$=$\frac{OF}{OB}$，
∵∠MON=∠ABE=90°，
∴△EOF∽△ABO．

（2）在運動過程中，OE=1.5t，OF=2t．
∵AB=3，OB=4．
∴$\frac{OE}{AB}$=$\frac{OF}{OB}$，
又∵∠EOF=∠ABO=90°，
∴Rt△EOF∽Rt△ABO．
∴∠AOB=∠EFO．
∵∠AOB+∠FOC=90°，
∴∠EFO+∠FOC=90°，
∴EF⊥OA．

（3）如圖，連接AF
∵OE=1.5t，OF=2t，
∴BE=4-1.5t
∴S_△FOE=$\frac{1}{2}$OE•OF=$\frac{1}{2}$×1.5t×2t=$\frac{3}{2}$t²，
S_△ABE=$\frac{1}{2}$×（4-1.5t）×3=6-$\frac{9}{4}$t，
S_梯形ABOF=$\frac{1}{2}$（2t+3）×4=4t+6，
∴S_△AEF=S_梯形ABOF-S_△FOE-S_△ABE=4t+6-$\frac{3}{2}$t²-（6-$\frac{9}{4}$t）=-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{25}{4}$t，
S_{四邊形AEOF}=S_梯形ABOF-S_△ABE=4t+6-（6-$\frac{9}{4}$t）=$\frac{25}{4}$t，
∵S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_{四邊形AEOF}
∴-$\frac{3}{2}$t²+$\frac{25}{4}$t=$\frac{1}{2}$×$\frac{25}{4}$t，（0＜t＜$\frac{8}{3}$）
解得t=$\frac{25}{12}$或t=0（舍去），
∴當t=$\frac{25}{12}$時，S_△AEF=$\frac{1}{2}$S_{四邊形AEOF}．

點評 本題考查相似三角形綜合題、三角形、四邊形的面積問題等知識，解題的關鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質，學會用方程的思想思考問題，把問題轉化為方程解決，屬于中考常考題型．