Question

【題目】如圖1，在數軸上A、B兩點對應的數分別是6，-6，∠DCE=90°（C與O重合，D點在數軸的正半軸上）

（1）如圖1，若CF平分∠ACE，則∠AOF=_______;

（2）如圖2，將∠DCE沿數軸的正半軸向右平移t（0<t<3）個單位后，再繞頂點C逆時針旋轉30t度，作CF平分∠ACE，此時記∠DCF=α.

①當t=1時，α=_________;

②猜想∠BCE和α的數量關系，并證明；

（3）如圖3，開始∠D1C1E1與∠DCE重合，將∠DCE沿數軸正半軸向右平移t（0<t<3）個單位，再繞頂點C逆時針旋轉30t度，作CF平分∠ACE，此時記∠DCF=α，與此同時，將∠D1C1E1沿數軸的負半軸向左平移t（0<t<3）個單位，再繞頂點C1順時針旋轉30t度，作C1F1平分∠AC1E1,記∠D1C1F1=β，若α，β滿足|α-β|=45°，請用t的式子表示α、β并直接寫出t的值.

Answer 1

【答案】（1）45°；（2）①30°；②∠BCE=2α，證明見解析；（3）α=45-15t ，β=45+15t，

【解析】

（1）根據角平分線的定義即可得出答案；

（2）①首先由旋轉得到∠ACE=120°，再由角平分線的定義求出∠ACF，再減去旋轉角度即可得到∠DCF；

②先由補角的定義表示出∠BCE，再根據旋轉和角平分線的定義表示出∠DCF，即可得出兩者的數量關系；

（3）根據α=∠FCA-∠DCA，β=∠AC1D1+∠AC1F1，可得到表達式，再根據|α-β|=45°建立方程求解.

（1）∵∠ACE=90°，CF平分∠ACE

∴∠AOF=∠ACE=45°

故答案為：45°；

（2）①當t=1時，旋轉角度為30°

∴∠ACE=90°+30°=120°

∵CF平分∠ACE

∴∠ACF=60°，α=∠DCF=∠ACF-30°=30°

故答案為：30°；

②∠BCE=2α，證明如下：

旋轉30t度后，∠ACE=(90+30t)度

∴∠BCE=180-(90+30t)=(90-30t)度

∵CF平分∠ACE

∴∠ACF=∠ACE=(45+15t)度

∠DCF=∠ACF-30t=(45-15t)度

∴2∠DCF=2(45-15t)= 90-30t=∠BCE

即∠BCE=2α

（3）α=∠FCA-∠DCA=(90+30t)-30t=45-15t

β=∠AC1D1+∠AC1F1=30t+(90-30t)=45+15t

|30t|=45°

∴