Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，連接AC、EC、EF、FC，且EC⊥EF．

（1）求證：△AEF∽△BCE；

（2）若AC＝2，求AB的長；

（3）在（2）的條件下，△ABC的外接圓圓心與△CEF的外接圓圓心之間的距離為　 　．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）2；（3）

【解析】

（1）利用同角的余角判斷出∠AFE＝∠BEC，即可得出結論；

（2）設AE＝x，AF＝y，則BE＝x，AB＝2x，BC＝AD＝2y，進而利用△AEF∽BCE，得出，即x2＝2y2①，再用勾股定理得出（2x）2+（2y）2＝（2）2，即x2+y2＝3②，聯立①②即可得出結論；

（3）先判斷出△ABC的外接圓的圓心是AC的中點與△CEF的外接圓的圓心為CF的中點，進而得出MN是AF的一半，再用勾股定理求出AD，進而得出AF，即可得出結論．

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠EAF＝∠CBE＝90°，

∴∠AEF+∠AFE＝90°，

∵EC⊥EF，

∴∠FEC＝90°，

∴∠AEF+∠BEC＝90°，

∴∠AFE＝∠BEC，

∵∠EAF＝∠CBE＝90°，

∴△AEF∽△BCE，

（2）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，

∵E、F分別是AB、AD的中點

∴AE＝BE＝AD，

設AE＝x，AF＝y，

則BE＝x，AB＝2x，BC＝AD＝2y，

∵△AEF∽BCE，

∴，

∴，

∴x2＝2y2①，

∵∠B＝90°，

∴AB2+BC2＝AC2，

∴（2x）2+（2y）2＝（2）2，

∴x2+y2＝3②，

由①②得，（舍）或（舍）或（舍）或

∴AE＝，AF＝1，

∵點E是AB的中點，

∴AB＝2AE＝2，

（3）解：如圖，

∵∠CEF＝90°，

∴△CEF是直角三角形，

∴△CEF的外接圓的圓心是斜邊CF的中點，記作點M，

∴CM＝FM，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，∠ABC＝90°，

∴△ABC是直角三角形，

∴△ABC的外接圓的圓心是斜邊AC的中點，記作N，

∴AN＝CN，

∵CM＝FM，

∴MN＝AF，

由（2）知，AB＝2，

∵AC＝2，

根據勾股定理得，BC＝＝2，

∴AD＝2，

∵點F是AD的中點，

∴AF＝AD＝1，

∴MN＝AF＝，

故答案為：．