Question

已知四邊形ABCD的面積為32，AB、CD、AC的長都是整數，且它們的和為16．
（1）這樣的四邊形有幾個？
（2）求這樣的四邊形邊長的平方和的最小值．

Answer 1

（1）如圖，記AB=a，CD=b，AC=l，并設△ABC的邊BA上的高為h₁，△ADC的邊DC上的高為h₂，
則S_{四邊形ABCD}=S_△ABC+S_△ADC=

1

2

（h₁a+h₂b）≤

1

2

l（a+b），
當且僅當h₁=h₂=l時等號成立，即在四邊形ABCD中，當AC⊥AB，AC⊥CD時，等號成立，
由已知得64≤l（a+b），又∵a+b=16-l，
得64≤l（16-l）=64-（l-8）²≤64，
于是l=8，a+b=8，且這時AC⊥AB，AC⊥CD，
因此這樣的四邊形由如下4個：a=1，b=7，l=8；a=2，b=6，l=8；a=3，b=5，l=8；a=b=4，l=8；

（2）由于AB=a，CD=8-a，則BC²=8²+a²，AD²=8²+（8-a）²，
故這樣的四邊形的邊長的平方和為：
2a²+2（8-a）²+128=4（a-4）²+192，
當a=b=4時，平方和最小，且為192．
故答案為：4，192．