Question

【題目】如圖，E，F是正方形ABCD的邊CD上兩個動點，滿足DE＝CF．連接AE交BD于點I，連接BF交CI于點H，G為BC邊上的中點．若正方形的邊長為4，則線段DH長度的最小值是__________．

Answer 1

【答案】-2

【解析】

易證ADEBCF，得∠DAE=∠CBF，由A，C關于BD軸對稱，得∠DAE=∠DCI，從而得∠CBF=∠DCI，進而得∠BHC=90°，結合G為BC邊上的中點，得GH=2，連接DG，得DG=，根據三角形三邊長關系，即可得到答案．

∵在正方形ABCD中，AD=BC，∠ADE=∠BCF=90°，

又∵DE＝CF，

∴ADEBCF（ASA），

∴∠DAE=∠CBF，

∵A，C關于BD軸對稱，

∴∠DAE=∠DCI，

∴∠CBF=∠DCI，

∴∠DCI+∠BCH=∠CBF+∠BCH=90°，

∴∠BHC=180°-(∠CBF+∠BCH)=180°-90°=90°，

∵G為BC邊上的中點，

∴GH=BC=2，

連接DG，則DG=，

∵在DHG中，DH＞DG-GH，當且進當D，H，G三點共線時，DH=DG-GH=-2，

∴線段DH長度的最小值是：-2．

故答案是：-2．