Question

【題目】（14分）如圖，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，點(diǎn)E是線段AD邊上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)A、D），連結(jié)BE、CE．

（1）若a=5，AC=13，求b．

（2）若a=5，b=10,當(dāng)BE⊥AC時(shí)，求出此時(shí)AE的長．

（3）設(shè)AE=x，試探索點(diǎn)E在線段AD上運(yùn)動(dòng)過程中，使得△ABE與△BCE相似時(shí)，求a、b應(yīng)滿足什么條件，并求出此時(shí)x的值．

Answer 1

【答案】（1）b = 12 ；（2）；（3）

【解析】試題分析：（1）在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，利用勾股定理即可計(jì)算出結(jié)果.
（2）由∵BE⊥AC得到∠2+∠3=90°，由于∠1+∠3=90°，等量代換得到∠1=∠2，推出得到比例式，即可得到結(jié)論；
（3）點(diǎn)在線段上的任一點(diǎn)，且不與重合，當(dāng)與相似時(shí)，則當(dāng)（如圖2），又由平行線的性質(zhì)得到推出得到比例式，進(jìn)而可得得到一元二次方程根據(jù)方程根的情況，得到結(jié)論．

試題解析：(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∵AB=a=5, AC=13，

∴b=12；

如圖1，∵BE⊥AC

又

∴∠1 = ∠2,

又

∴△AEB ∽△BAC,

∴即,

∴.

（3）∵點(diǎn)E在線段AD上的任一點(diǎn)，且不與A、D重合，

∴當(dāng)△ABE與△BCE相似時(shí)，則

所以當(dāng)△BAE ∽△CEB（如圖2）

則∠1 = ∠BCE，

又BC∥AD,

∴∠2 = ∠BCE,

∴∠1 = ∠2 ,

又

∴△BAE ∽△EDC,

∴ 即 ,

∴ ,

即 ,

當(dāng) ,

∵a＞0，b＞0， ∴

即 時(shí)， .

綜上所述：當(dāng)a、b滿足條件b = 2a時(shí)△BAE ∽△CEB，此時(shí) (或x = a)；

當(dāng)a、b滿足條件b＞2a時(shí)△BAE ∽△CEB，此時(shí).