Question

【題目】閱讀下面資料：

小明遇到這樣一個問題：如圖1，對面積為a的△ABC逐次進行以下操作：分別延長AB、BC、CA至A1、B1、C1，使得A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，順次連接A1、B1、C1，得到△A1B1C1，記其面積為S1，求S1的值.

小明是這樣思考和解決這個問題的：如圖2，連接A1C、B1A、C1B，因為A1B2AB，B1C2BC，C1A2CA，根據等高兩三角形的面積比等于底之比，所以2S△ABC2a，由此繼續推理，從而解決了這個問題.

（1）直接寫出S1 （用含字母a的式子表示）.

請參考小明同學思考問題的方法，解決下列問題：

（2）如圖3，P為△ABC內一點，連接AP、BP、CP并延長分別交邊BC、AC、AB于點D、E、F，則把△ABC分成六個小三角形，其中四個小三角形面積已在圖上標明，求△ABC的面積.

（3）如圖4，若點P為△ABC的邊AB上的中線CF的中點，求S△APE與S△BPF的比值.

Answer 1

【答案】（1）19a；（2）315；（3）.

【解析】

（1）首先根據題意，求得S△A1BC=2S△ABC，同理可求得S△A1B1C=2S△A1BC，依此得到S△A1B1C1=19S△ABC，則可求得面積S1的值；
（2）根據等高不等底的三角形的面積的比等于底邊的比，求解，從而不難求得△ABC的面積；
（3）設S△BPF=m，S△APE=n，依題意，得S△APF=S△APC=m，S△BPC=S△BPF=m．得出，從而求解．

解：（1）連接A1C，

∵B1C=2BC，A1B=2AB，
∴,,，
∴，

∴，

同理可得出：，
∴S1=6a+6a+6a+a=19a；
故答案為：19a；

（2）過點作于點，

設，，

；，

．

，即．

同理，．

．

．①

，，

．②

由①②，得，

．

（3）設，，如圖所示．

依題意，得，．

．

，

．

，

，

．

．

．