Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中．過一點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，若與坐標(biāo)軸圍成矩形的周長(zhǎng)的數(shù)值與面積的數(shù)值相等，則這個(gè)點(diǎn)叫做和諧點(diǎn)．例如．圖中過點(diǎn)P分別作x軸，y軸的垂線．與坐標(biāo)軸圍成矩形OAPB的周長(zhǎng)的數(shù)值與面積的數(shù)值相等，則點(diǎn)P是和諧點(diǎn)．
（1）判斷點(diǎn)M（1，2），N（4，4）是否為和諧點(diǎn)，并說明理由；
（2）若和諧點(diǎn)P（a，3）在直線y=﹣x+b（b為常數(shù)）上，求a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），

∴點(diǎn)M不是和諧點(diǎn)，點(diǎn)N是和諧點(diǎn)

（2）解：由題意得：①當(dāng)a＞0時(shí)，

∵y=﹣x+b，P（a，3），

∴3=﹣a+b，

∴b=a+3．

∴（a+3）×2=3a，

∴a=6，

點(diǎn)P（a，3）在直線 y=﹣x+b上，代入得：b=9

②當(dāng)a＜0時(shí)，（﹣a+3）×2=﹣3a，

∴a=﹣6，

點(diǎn)P（a，3）在直線y=﹣x+b上，代入得：b=﹣3，

∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3

【解析】（1）計(jì)算1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4）即可；（2）當(dāng)a＞0時(shí)，根據(jù)（a+3）×2=3a，求出a，進(jìn)一步求出b；當(dāng)a＜0時(shí)，根據(jù)（﹣a+3）×2=﹣3a求出a進(jìn)一步求出b．