Question

如圖，在正方形ABCD中，點P是AB上一動點（不與A，B重合），對角線AC，BD相交于點O，過點P分別作AC，BD的垂線，分別交AC，BD于點E，F，交AD，BC于點M，N．下列結論：①△APE≌△AME；②PM+PN=AC；③PE²+PF²=PO²；④△POF∽△BNF；⑤當△PMN∽△AMP時，點P是AB的中點．其中正確的結論的個數有（　　）個.

A．5

B．4

C．3

D．2

Answer 1

B.

試題分析：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠BAC=∠DAC=45°．
∵在△APE和△AME中，
，
∴△APE≌△AME，故①正確；
∴PE=EM=PM，
同理，FP=FN=NP．
∵正方形ABCD中AC⊥BD，
又∵PE⊥AC，PF⊥BD，
∴∠PEO=∠EOF=∠PFO=90°，且△APE中AE=PE
∴四邊形PEOF是矩形．
∴PF=OE，
∴PE+PF=OA，
又∵PE=EM=PM，FP=FN=NP，OA=AC，
∴PM+PN=AC，故②正確；
∵四邊形PEOF是矩形，
∴PE=OF，
在直角△OPF中，OF²+PF²=PO²，
∴PE²+PF²=PO²，故③正確．
∵△BNF是等腰直角三角形，而△POF不一定是，故④錯誤；
∵△AMP是等腰直角三角形，當△PMN∽△AMP時，△PMN是等腰直角三角形．
∴PM=PN，
又∵△AMP和△BPN都是等腰直角三角形，
∴AP=BP，即P時AB的中點．故⑤正確．
故選B．
考點: 1.相似三角形的判定與性質；2.全等三角形的判定與性質；3.勾股定理；4.正方形的性質.