Question

閱讀下列材料，然后回答問題．
在進行二次根式計算時，我們有時會碰到如

5

3

，

2 3

，

2

3 +1

一樣的式子，其實我們還可以將其進一步簡化：

5

3

=

5× 3

3 × 3

=

5 3

3

          ①

2 3

=

2×3 3×3

=

6

3

             ②

2

3 +1

=

2( 3 -1)

( 3 +1)( 3 -1)

=

2( 3 -1)

( 3 )2- 1 2

=

2( 3 -1)

2

=

3

-1      ③
以上這種化簡的步驟叫做分母有理化，

2

3 +1

還可以用以下方法化簡：

2

3 +1

=

3-1

3 +1

=

( 3 )2-12

3 +1

=

3

-1     ④
（1）請用不同的方法化簡：

2

7 + 5

參照③式方法化簡過程為：
參照④式方法化簡過程為：
（2）化簡：

2

3 +1

+

2

5 + 3

+

2

7 + 5

+…+

2

2n+1 + 2n-1

．

Answer 1

分析：（1）根據已知中的例子，③的方式是：分子、分母上同時乘以與分母構成平方差公式的式子，從而化簡；
④的方式是：把2化成兩個數的差，利用平方差公式分解，然后約分；
（2）根據（1）的結論，直接運用計算即可．

解答：解：（1）：參照③式方法化簡過程為：原式=

2( 7 - 5 )

( 7 + 5 )( 7 - 5 )

=

7

-

5

；
參照④式方法化簡過程為：原式=

7-5

7 + 5

=

( 7 + 5 )( 7 - 5 )

7 + 5

=

7

-

5

．
（2）原式=

3

-1+

5

-

3

+

7

-

5

+…+

2n+1

-

2n-1

=

2n+1

-1．

點評：本題主要考查了二次根式的化簡，正確讀懂題意是解題的關鍵．