Question

【題目】已知關于x的方程 x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．若等腰三角形ABC的一邊長a＝4，另兩邊邊長b、c恰好是這個方程的兩個實數根，則△ABC的周長為_____．

Answer 1

【答案】10

【解析】

分a為腰長以及底邊長兩種情況考慮．①等a為腰長時，將x＝4代入原方程可求出k值，將k值代入原方程解方程可得出底邊長，再利用三角形的三邊關系驗證后可得出結論；②當a為底邊長時，根據根的判別式△＝0即可求出k值，將k值代入原方程解方程可得出腰長，再利用三角形的三邊關系驗證后即可得出結論．綜上即可得出結論．

解：①當a為腰長時，將x＝4代入x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0中得：10﹣4k＝0，

解得：k＝，

∴原方程為x2﹣6x+8＝0，

解得：x1＝4，x2＝2，

∵4，4，2滿足任意兩邊之和大于第三邊，

∴C＝4+4+2＝10；

②當a為底邊長時，方程 x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0有兩個相等的實數根，

∴△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝0，

解得：k＝．

當k＝時，原方程為x2﹣4x+4＝0，

解得：x＝2，

∵2，2，4不滿足任意兩邊之和大于第三邊，

∴a為底邊長不符合題意．

綜上可知：△ABC的周長為10．

故答案為：10．