Question

【題目】如圖，AC是□ABCD的一條對(duì)角線，過AC中點(diǎn)O的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F．

（1）求證：△AOE≌△COF；

（2）若EF與AC垂直，試判斷四邊形AFCE的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）四邊形AFCE是菱形，理由詳見解析．

【解析】

（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，得出∠EAO=∠FCO，利用對(duì)頂角相等∠AOE=∠COF，O是AC的中點(diǎn)，OA=OC，所以由ASA即可得出結(jié)論；（2）四邊形AFCE是菱形，先證明四邊形AFCE是平行四邊形，再由對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形即可得出四邊形AFCE是菱形．

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵O是CA的中點(diǎn)

∴OA=OC，

又∵∠AOE=∠COF（對(duì)頂角相等），

∴△AOE≌△COF（ASA）；

（2）四邊形AFCE是菱形，理由如下：

∵△AOE≌△COF，

∴AE=CF，

∵AE∥CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形），

∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．