Question

【題目】 如圖，在平面直角坐標系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x2+bx+c經過A，B兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是直角△ABC斜邊AB上一動點（點A、B除外），過點E作x軸的垂線交拋物線于點F，當線段EF的長度最大時，求點E、F的坐標；

（3）在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一點P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）點E（，），F（，）；（3）存在，P1（，），P2（，），P3（，）．

【解析】

（1）根據AC=BC，求出BC的長，進而得到點A，B的坐標，利用待定系數法即可求得拋物線的解析式；
（2）利用待定系數法求出直線AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐標，求出EF的長度最大時m的值，即可求得E，F的坐標；
（3）分兩種情況：∠E-90°和∠F=90°，分別得到點P的縱坐標，將縱坐標代入拋物線解析式，即可求得點P的值．

解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC，

∴BC=5，

∴A（﹣1，0），B（4，5），

拋物線y=x2+bx+c經過A，B兩點，

∴，解得：，

∴y=x2﹣2x﹣3；

（2）設直線AB解析式為：y=kx+b，

直線經過點A，B兩點，

∴，解得：，

∴直線AB的解析式為：y=x+1，

設點E的坐標為（m，m+1），則點F（m，m2﹣2m﹣3），

∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣（m﹣）2+，

∴當EF最大時，m=，

∴點E（，），F（，）；

（3）存在．

①當∠FEP=90°時，點P的縱坐標為，

即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=，

∴點P1（，），P2（，），

②當∠EFP=90°時，點P的縱坐標為，

即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），

∴點P3（，），

綜上所述，P1（，），P2（，），P3（，）．