Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，P是對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過P作EF∥AB，分別交AD，BC于點(diǎn)E、F，CP的延長線交AD于點(diǎn)G，O是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)O的延長線交DC于點(diǎn)K．
（1）求證：PF=CK；
（2）設(shè)DG=x，△CKO的面積為S₁，四邊形POKD的面積為S₂，y=

S1

S2

．求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及自變量x的取值范圍，并在下面的直角坐標(biāo)系中畫出這個(gè)函數(shù)的圖象．

Answer 1

分析：（1）可通過證明△PCF≌△KFC得證PF=CK；
（2）根據(jù)圖中O點(diǎn)的位置，不難得出O到KC的距離應(yīng)是CF的一半，因此要求三角形OKC的面積和四邊形POKD的面積比，實(shí)際是求三角形OKC和PDC的面積比，根據(jù)面積比求出了關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式，然后可根據(jù)函數(shù)關(guān)系式畫出函數(shù)的圖象．

解答：（1）證明：直角三角形PFC中，
∵O是斜邊PC的中點(diǎn)，
∴OP=OF=OC，
∴∠PCF=∠KFC，
∵∠PFC=∠KCF=90°，F(xiàn)C=FC，
∴△PCF≌△KFC，
∴PF=CK；

（2）解：過O作OH⊥CD于H，
∵PF=CD，PF∥CK，
∴四邊形PFCK應(yīng)該是矩形，
∴O也平分KF，
∴OH是三角形KFC的中位線，
∴OH=

1

2

FC，
∵GD∥BC，
∴△GPD∽△CPB，
∴

GD

BC

=

PE

PF

，
∵GD=x，BC=CD=1，PE+PF=1，
∴

x

1

=

1-PF

PF

，
∴PF=CK=

1

x+1

，
∴S_△CKO=

1

2

•CK•OH=

1

2x+2

•OH，
∵S_△CPD=

1

2

•CD•CF=

1

2

•CF=OH，
∴S_POKD=S_△CPD-S_△CKO=

2x+1

2x+2

•OH，
∴y=S_△OKC：S_POKD=

1

2x+1

（0＜x≤1）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．