Question

（2006•襄陽）已知：AB是⊙O的直徑，點C是⊙O外的一點，點E是AC上一點，AB=2．
（1）如圖1，點D是BC的中點，當DE也AC滿足什么關系時，DE是⊙O的切線？請說明理由．
（2）如圖2，AC是⊙O的切線，點E是AC的中點DE∥AB．①求的值；②求陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）若DE是圓的切線，則連接OD，OD應垂直于DE，再根據三角形的中位線定理得到OD∥AC，所以DE⊥AC，反之成立；
（2）①中，連接OD，根據平行線等分線段定理，得到D是BC的中點，根據平行線的性質和切線的性質得到DE⊥AC，結合（1）的結論，則DE也是圓的切線，從而得到OD⊥DE，根據一組鄰邊相等的矩形是正方形得到正方形AEDO，從而發現等腰直角三角形AOD和ADB，根據AB=2，即可求得AD的長，進一步計算；
②中，陰影部分的面積顯然是正方形AEDO的面積減去扇形OAD的面積，根據①中的結論即可計算．
解答：解：（1）如圖所示，
當DE⊥AC時，DE是⊙O的切線（1分）
證明：連接OD
∵AB是⊙O的直徑
∴AO=OB
∵點D是BC的中點
∴BD=DC，
∴OD是△ACB的中位線，
∴OD∥AC   （2分）
∴DE⊥OD
即DE是⊙O的切線（3分）

（2）①∵AC為⊙O的切線
∴AC⊥AB
∵DE∥AB
∴DE⊥AC
∵點E是AC中點
∴點D是BC中點（4分）
∴OD⊥DE  （5分）
∵AO=OD
∴四邊形AODE是正方形（6分）
∵AB=2
∴AD=
∴===2-2   （8分）
②由圖形可知，S_陰影=S_{正方形AODC}-S_扇形OAD∵S_正方形=1×1=1平方單位（9分）
∵S_扇形==平方單位（10分）
∴S_陰影=1-平方單位（11分）．
點評：此題綜合運用了三角形的中位線定理、切線的判定和性質、正方形的判定和性質以及等腰直角三角形的性質．