Question

（2006•襄陽）已知：AC是⊙O的直徑，點A、B、C、O在⊙O₁上，OA=2．建立如圖所示的直角坐標系．∠ACO=∠ACB=60度．
（1）求點B關于x軸對稱的點D的坐標；
（2）求經過三點A、B、O的二次函數的解析式；
（3）該拋物線上是否存在點P，使四邊形PABO為梯形？若存在，請求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據圓的圓周角的性質可求得△AOB是等邊三角形，根據等邊三角形的性質即可求得點B的坐標，再根據點B關于x軸的對稱點的特點求得點D的坐標；
（2）可設得二次函數的一般式，將點A、O、B的坐標代入函數解析式，解方程組即可求得函數的解析式；
（3）∵△BOA是等邊三角形，點D是點B關于x軸的對稱點
∴OA、BD相互垂直平分∴四邊形DABO是菱形
∴AD∥BO∴所求點P必在直線AD上
設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠O），利用待定系數法求解即可．
解答：解：（1）如圖：∵點A、B、C、D在⊙O上，且∠ACO=∠ACB=60°，
∴∠BOA=∠ABO=60°，
∴△ABO是等邊三角形，
∵OA=2，
過點B作BD⊥OA于點D，
∴OD=OA-1，BD=OB•sin60°=，
∴B（1，），
∴點B關于x軸對稱的點D的坐標為（1，-）；

（2）設經過A（2，0）、B（1，）、O（0，0）的二次函數的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∴，
，
∴y=-+2；

（3）存在點P，使四邊形PABO為梯形，
∵△BOA是等邊三角形，
點D是點B關于x軸的對稱點，
∴OA、BD相互垂直平分，
∴四邊形DABO是菱形，
∴AD∥BO，
∴所求點P必在直線AD上，
設直線AD的解析式為y=kx+b（k≠O），
∴，
即，
∴y=，
聯立，
解得，
當時，就是點A（2，0）；
當時，
即為所求點P（-1，-3），
過點P作PG⊥x軸于G，則|PG|=3，
∴PA=6而BO=2，
在四邊形PABO中，BO∥AP且BO≠AP，
∴四邊形PABO不是平行四邊形，
∴OP與AB不平行，
∴四邊形PABO為梯形，
同理，在拋物線上可求得另一點P（3，-3），也能使四邊形PABO為梯形．
故存在點P（-1，-3），或P（3，-3），使四邊形PABO為梯形．
點評：此題考查了二次函數與園的知識的綜合應用，解題時要注意待定系數法的應用，還要注意數形結合思想的應用．