Question

【題目】如圖，二次函數的圖象經過點，點，點，點是拋物線上任意一點，有下列結論：①二次函數的最小值為；②若，則；③若，則；④一元二次方程的兩個根為1和.其中正確結論的個數是( )

A. 1B. 2C. 3D. 4

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用交點式寫出拋物線解析式為y=ax2﹣2ax﹣3a，配成頂點式得y=a（x﹣1）2﹣4a，則可對①進行判斷；計算x=4時，y=a×5×1=5a，則根據二次函數的性質可對②進行判斷；利用對稱軸和二次函數的性質可對③進行判斷；由于b=﹣2a，c=﹣3a，則方程cx2+bx+a=0化為﹣3ax2﹣2ax+a=0，然后解方程可對④進行判斷．

∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0）、點B（3，0），

∴拋物線解析式為y=a（x+1）（x﹣3），

即y=ax2﹣2ax﹣3a= a（x﹣1）2﹣4a，

∴當x=1時，二次函數有最小值﹣4a，故①正確；

當x=4時，y=a×5×1=5a，

∴當﹣1≤x2≤4，則﹣4a≤y2≤5a，所以②正確；

∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0）、點B（3，0），

∴對稱軸為直線x=1，

∵拋物線開口向上，

∴x>1時，y隨x的增大而增大，

∵C（4，y1）,

∴，則，故③正確；

∵二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過點A（﹣1，0）、點B（3，0），

∴-1+3=-，-1×3=，

∴b=﹣2a，c=﹣3a，

∴方程cx2+bx+a=0化為﹣3ax2﹣2ax+a=0，

整理得3x2+2x﹣1=0，

解得x1=﹣1，x2=，故④錯誤，

綜上所述：正確的結論有①②③，共3個，

故選C.