Question

【題目】在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=CD．

（1）如圖1，請連接AC，BD，求證：AC垂直平分BD；

（2）如圖2，若∠BCD=60°，∠ABC=90°，E，F分別為邊BC，CD上的動點，且∠EAF=60°，AE，AF分別與BD交于G，H，求證：△AGH∽△AFE；

（3）如圖3，在（2）的條件下，若 EF⊥CD，直接寫出的值．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）．

【解析】

試題（1）由題意分別求出A,C點在BD垂直平分線上，所以AC就是BD的垂直平分線.(2) ，將△ABE繞點A逆時針旋轉120得到△ADM．連接AC交BD于O．先證明F、D、M共線，再通過倒角得到∠GAH=∠FAE，所以△AGH∽△AFE．

（3）連接AC交BD于O，作HM⊥AD于M, 設HM=AM=a，則DH=2a，DM=a，

用a表示GH，BD,求出比值.

試題解析：

（1）證明：如圖1中，連接BD、AC．

∵AB=AD，

∴點A在線段BD的垂直平分線上，

∵CB=CD，

∴點C在線段BD的垂直平分線上，

∴AC是線段BD的垂直平分線，

即AC垂直平分線段BD．

（2）如圖2中，將△ABE繞點A逆時針旋轉120°得到△ADM．連接AC交BD于O．

∵B、D關于AC對稱，

∴∠ABC=∠ADC=90°，

∵∠BCD=60°，

∴∠BAD=120°，

∵∠EAF=60°，

∴∠BAE+∠DAF=∠DAF+∠DAM=60°，

∴∠FAE=∠FAM，

∵∠ADM=∠ABE=90°=∠ADF，

∴F、D、M共線，

∵FA=FA，AE=AM，

∴△FAE≌△FAM，

∴∠AFE=∠AFM，

∵∠CAD=∠CAB=60°=∠EAF，

∴∠GAO=∠DAF，

∵∠AGO+∠GAO=90°，∠AFD+∠FAD=90°，

∴∠AGO=∠ADF，

∴∠AGH=∠AFE，∵∠GAH=∠FAE，

∴△AGH∽△AFE．

（3）解：如圖3中，連接AC交BD于O，作HM⊥AD于M．

∵EF⊥CD，

∴∠EFD=90°，

由（2）可知∠AFD=∠AFE=∠AGO=45°，

∵∠ADF=90°，

∴AD=DF，設HM=AM=a，則DH=2a，DM=a，

在Rt△ACD中，∵∠ACD=30°，AD=（1+）a，

∴CD=BD=AD=（3+）a，

在Rt△AHD中，∵∠ADH=30°，AD=（1+）a，

∴AO=OG=AD=a，OD=OA=a，

∴OH=OD﹣DH=a，﹣2a=a,

∴GH=OG+OH=a，

∴.