Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標系中，四邊形是矩形，，，動點從點出發，沿射線方向以每秒個單位長度的速度運動；同時動點從點出發，沿軸正半軸方向以每秒個單位長度的速度運動.設點，點的運動時間為.

（1）當時，按要求回答下列問題

①______________；

②求經過，，三點的拋物線的解析式，若將拋物線在軸上方的部分圖象記為，已知直線與有兩個不同的交點，求的取值范圍；

（2）連接，點，在運動過程中，記與矩形重疊部分的面積為，求與的函數解析式.

Answer 1

【答案】（1）①3；②y=-x2+3x； 0≤b＜；（2）當0≤t≤2時，S=3t；當2＜t≤4時，S=24--3t；當t＞4時，S=.

【解析】

（1）①過Q作QM⊥BC，即可在直角三角形中求得tan∠QPC；②設拋物線的解析式，將點O、P、A代入即可求得拋物線方程；將一次函數與拋物線方程聯立，由直線與G1有2個交點得到＞0，b≥0，求得b的范圍.（2）討論三種情況：當0≤t≤2時，當2＜t≤4時，當t>4時，分別求得S與t之間的函數解析式.

解：（1）①過Q作QM⊥BC，tan∠QPC==3；

②A（4,0）O（0,0）P（2,3）設拋物線的解析式為y=ax2+bx+c,

把A（4,0）O（0,0）P（2,3）代入y=ax2+bx+c得，

解得.y=x2+3x.

聯立直線 y=x+b與 y=-x2+3x,得 則-x2+3x=x+b，

∵直線x+b 與 G1 有 兩 個 不 同 交 點，

∴方程-x2+3x=x+b有2個不同解，

∴＞0即，

b＜，

又由直線與G1交于x軸上方，∴b≥0，

∴b的范圍為.

（2）當0≤t≤2時，S=3t；當2＜t≤4時，S=2；當t＞4時，S=.

當0≤t≤2時，如圖1，由題意可知CP=2t，∴S=S△PCQ=×2t×3=3t；

當2＜t≤4時，如圖2：

過Q作QH⊥CP于H，BP=2t-4,HP=HC=t,HQ=3,

∵BM∥HQ，

∴△PBM∽△PHQ，

∴.

即，

∴BM=,

∴AM=3- BM=，

當P在CB延長線上，Q在OA延長線上時，即t>4時，如圖3，

CQ與AB交于M點，過Q做，

則, 即，故有.

面積為： （t > 4）