Question

【題目】如圖，AB是⊙O的弦，C是劣弧 的中點(diǎn)，連BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接CA，CB，AB與CD交于點(diǎn)F，已知CF=1，F(xiàn)D=2．
（1）求CB的長(zhǎng)；
（2）延長(zhǎng)DB到E，使BE=OB，連接CE，求證：CE是⊙O的切線．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C是劣弧 的中點(diǎn)，

∴∠1=∠2，

∵∠1=∠D，

∴∠2=∠D，

∵∠BCF=∠DCB，

∴△BCF∽△DCB，

∴ ，

∴BC2=CFCD=1×3=3，

∴BC= ；

（2）解：∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BCD=90°，

∴BD2=BC2+CD2=12，

∴BD=2 ，

∴OB=BE=BC，

連接OC，

∴∠OCE=90°，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線．

【解析】（1）由C是劣弧 的中點(diǎn)，得到∠1=∠2，等量代換得到∠2=∠D，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）由BD是⊙O的直徑，得到∠BCD=90°，根據(jù)勾股定理得到BD=2 ，證得OB=BE=BC，連接OC，推出OC⊥CE，即可得到結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】掌握切線的判定定理和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線、對(duì)應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．