Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑作⊙O，D為⊙O上一點，連接AD、BD、CD、OB，且BD＝AB．

（1）求證：OB//CD；

（2）若D為弧AC的中點，求tan∠BDC．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）tan∠BDC＝．

【解析】

（1）先利用邊邊邊定理判定，再由等腰三角形的性質、直徑所對的圓周角是直角得到、，最后根據同位角相等推出兩直線平行；

（2）由D為弧AC的中點，可得、為等腰直角三角形，在中利用銳角三角函數求得，即可得．

解：（1）證明：連結OD，延長OE交AD于點E，如圖：

∵AO＝OD，AB＝BD，OB＝OB

∴△ABO≌△DBO

∴∠ABO＝∠DBO

∴∠AEB＝90°

∵AC是⊙O的直徑

∴∠ADC＝90°

∴∠AEB＝∠ADC

∴OB//CD

（2）∵D為弧AC的中點

∴∠DOC＝∠DOA＝90°，∠DCO＝∠DAO＝45°，AD＝CD

∵∠ACB＝90°

∴OD//BC

∵OB//CD

∴四邊形ODCB平行四邊形

∴OB＝CD，∠BDC＝∠DBE

∴設OE＝x，則DE＝x，OD＝x，CD＝2x

∴BE＝x＋2x＝3x

∴tan∠BDC＝tan∠DBE＝．

故答案是：（1）證明見解析；（2）