Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，BD=2AD=8，AB=4 ．
（Ⅰ）證明：平面PBD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B﹣PA﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】解：證明：（Ⅰ）在△ABD中，∵AD=4，BD=8，AB=4 ， ∴AD2+BD2=AB2 ， 故AD⊥BD．
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BD平面ABCD，∴BD⊥平面PAD，
又BD平面PBD，
故平面PBD⊥平面PAD．
（II）解：以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，如圖建立空間直角坐標系，

則D（0，0，0），A（4，0，0），P（2，0，2 ），B（0，8，0），
， =（﹣4，8，0）．
設平面PAB的法向量 =（x，y，z），
由 ，
令 則 ，則
平面PAD的一個法向量為 ，
則
則二面角B﹣PA﹣D的余弦值為
【解析】（Ⅰ）推導出AD⊥BD，從而BD⊥平面PAD，由此能證明平面PBD⊥平面PAD．（II）以D為原點，DA為x軸，DB為y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B﹣PA﹣D的余弦值．
【考點精析】利用平面與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．