Question

【題目】已知△OAB在直角坐標系中的位置如圖，點A在第一象限，點B在x軸正半軸上，OA=OB=6，∠AOB=30°．

（1）求點A、B的坐標；
（2）開口向上的拋物線經過原點O和點B，設其頂點為E，當△OBE為等腰直角三角形時，求拋物線的解析式；
（3）設半徑為2的⊙P與直線OA交于M、N兩點，已知MN=2 ，P（m，2）（m＞0），求m的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1 ，

作 AC⊥OB于C點，

由OB=OA=6，得B點坐標為（6，0），

由OB=OA=6，∠AOB=30°，得

AC= OA=3，OC=OAcos∠AOC= OA=3 ，

∴A點坐標為（3 ，3）；

（2）

解：如圖2 ，

由其頂點為E，當△OBE為等腰直角三角形，得

OC=BC=CE= OB=3，

即E點坐標為（3，﹣3）．

設拋物線的解析式為y=a（x﹣3）2﹣3，將B點坐標代入，解得

a= ，

拋物線的解析式為y= （x﹣3）2﹣3

化簡得y= x2﹣2x；

（3）

解：如圖3 ，

PN=2，CN= ，PC=1，

∠CNP=∠AOB=30°，

NP∥OB，

NE=2，得ON=4，

由勾股定理，得

OE= =2 ，即N（2 ，2）．

N向右平移2個單位得P（2 +2，2），

N向左平移2個單位，得P（2 ﹣2，2），

m的值為2 +2或2 ﹣2．

【解析】（1）根據30°的角所對的直角邊是斜邊的一半，可得AC的長，再根據銳角三角函數，可得OC，根據點的坐標，可得答案；（2）根據等腰直角三角形，可得E點坐標，再根據待定系數法，可得答案；（3）根據30°的角所對的直角邊是斜邊的一半，可得∠CNP=30°，再根據勾股定理OE的長，根據點的坐標，可得N點坐標，根據點的左右平移，可得P點坐標．