Question

（2013•東陽市模擬）平面直角坐標中，直線OA、OB都經過第一象限（O是坐標原點），且滿足∠AOB=45°，如直線OA的解析式為y=kx，現探究直線OB解析式情況．

（1）當∠BOX=30°時（如圖1），求直線OB解析式；
（2）當k=2時（如圖2），探究過程：OA上取一點P（1，2）作PF⊥x軸于F，交OB于E，作EH⊥OA于H，則

OH

PH

=

1

2

，根據以上探究過程，請求出直線OB解析式；
（3）設直線OB解析式為y=mx，則m=

k-1

k+1

（k＞1）或

k+1

1-k

（0＜k＜1）

（用k表示），如雙曲線y=

n

x

交OA于M，交OB于N，當OM=ON時，求k的值．

Answer 1

分析：（1）在OB上任取一點C，作CD⊥x軸與點D，設CD=a，由勾股定理可以得出OD=

3

a，設OB的解析式為y=kx，運用待定系數法就可以求出結論；
（2）由條件和勾股定理可以求出E點的坐標就可以求出OB的解析式；
（3）分k＞1時，0＜k＜1時，兩種情況用k表示出m；分k＞1時，0＜k＜1時，兩種情況求出k的值．

解答：解：（1）在OB上任取一點C，作CD⊥x軸與點D，設CD=a，
∵∠1=30°，
∴OC=2CD=2a，
在Rt△ODC中，由勾股定理，得
OD=

3

a，
設OB的解析式為y=kx，由題意，得
a=

3

ak，
k=

3

3

．
∴OB的解析式為：y=

3

3

x；

（2）∵PF⊥x軸，P（1，2），
∴OF=1，PF=2，
∴由勾股定理，得
OP=

5

．
∴tan∠OPF=

1

2

．
∵EH⊥OA，
∴∠EHP=90°，
∴

EH

PH

=

1

2

，
設EH=x，PH=2x，
∴PE=

5

x
∴OH=

5

-2x．
∵∠HOE=45°，
∴OH=EH=x，
∴x=

5

-2x，

OH

PH

=

1

2

．
∴x=

5

3

∴AE=

5

3

，
∴EF=

1

3

∴E（1，

1

3

）．
設OB的解析式為y=k₁x，由題意，得
k₁=

1

3

．
∴OB的解析式為y=

1

3

x；

（3）k＞1時，同上可得m=

k-1

k+1

，
0＜k＜1時，m=

k+1

1-k

k＞1時，設M（1，k），則N（k，1），代入y=

k-1

k+1

x可得，k²-2k-1=0，k=

2

+1；
0＜k＜1時，同理可得k=

2

-1．
故答案為：

1

2

；

k-1

k+1

（k＞1）或

k+1

1-k

（0＜k＜1）．

點評：考查了一次函數綜合題，涉及的知識點有：勾股定理，待定系數法，三角函數，分類思想和方程思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．