Question

【題目】已知在四邊形中，，，點，分別在射線，上，滿足.

（1）如圖1，若點，分別在線段，上，求證：；

（2）如圖2，若點，分別在線段延長線與延長線上，請直接寫出與的數量關系.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）∠EBF=90°+∠ADC.

【解析】

（1）如圖，延長DA到G，使AG=CF，連接BG，根據及四邊形內角和可得∠C+∠DAB=180°，可知∠C=∠GAB，利用SAS可證明△GAB≌△FCB，可得BG=BF，∠ABG=∠CBF，根據角的和差關系可得∠GBF=∠ABC，利用SSS可證明△GBE≌△FBE，可得∠GBE=∠EBF=∠ABC，根據即可得結論；（2）延長CD到H，使CH=AE，根據四邊形內角和可得∠BCH=∠BAE，利用SAS可證明△BCH≌△BAE，可得BE=BH，∠ABE=∠HBC，根據角的和差關系可得∠EBH=∠ABC，根據EF=AE+CF可得EF=FH，利用SSS可證明△EBF≌△HBF，可得∠EBF=∠HBF，根據周角的定義即可得答案.

（1）如圖，延長DA到G，使AG=CF，連接BG，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠C+∠DAB=180°，

∵∠GAB+∠DAB=180°，

∴∠C=∠GAB，

在△GAB和△FCB中，，

∴△GAB≌△FCB，

∴BG=BF，∠ABG=∠CBF，

∴∠ABF+∠ABG=∠ABF+∠CBF，即∠GBF=∠ABC，

∵EF=AE+CF，AG=CF，

∴EF=AE+AG=GE，

在△GBE和△FBE中，，

△GBE≌△FBE，

∴∠GBE=∠EBF，

∴∠EBF=∠GBF=∠ABC=(180°-∠ADC)=90°-∠ADC.

（2）延長CD到H，使CH=AE，

∵∠ABC+∠ADC=180°，

∴∠BCD+∠DAB=180°，

∵∠EAB+∠DAB=180°，

∴∠BCD=∠EAB，

在△BAE和△BCH中，，

∴△BAE≌△BCH，

∴BE=BH，∠ABE=∠HBC，

∴∠ABE+∠ABH=∠HBC+∠ABH，即∠EBH=∠ABC，

∵EF=AE+CF，CH=AE，

∴EF=CH+CF=FH，

在△EBF和△HBF中，，

∴△EBF≌△HBF，

∴∠EBF=∠HBF，

∴∠EBF+∠FBH+∠EBH=2∠EBF+∠ABC=2∠EBF+(180°-∠ADC)=360°，

∴∠EBF=90°+∠ADC.